29-ma`ruza Integrallash usullari. Sodda kasrlarni integrallash 10. O`zgaruvchini almashtirib integrallash usuli

29-ma`ruza
Integrallash usullari. Sodda kasrlarni integrallash


1⁰. O`zgaruvchini almashtirib integrallash usuli.
Faraz qilaylik, funksiyaning aniqmas integrali
(1)
berilgan bo`lib,uni hisoblash talab etilsin.
Ko`pincha, o`zgaruvchi ni ma`lum qoidaga ko`ra boshqa o`zgaruvchiga almashtirish natijasida berilgan integral sodda integralga keladi va uni hisoblash oson bo`ladi.
Aytaylik, (1) integraldagi o`zgaruvchi yangi o`zgaruvchi bilan ushbu

munosabatda bo`lib, quyidagi shartlar bajarilsin:
1) funksiya differentsiallanuvchi bo`lsin;
2) funksiya boshlang`ich funksiya ga ega, ya`ni
(2)
3) funksiya quyidagicha
(3)
ifodalansin.
U holda

bo`ladi.
◄Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash qoida-sidan foydalanib, (2) va (3) munosabatlarni e`tiborga olib topamiz:
.
Bundan

bo`lishi kelib chiqadi. ►
SHu yo`l bilan (1) integralni hisoblash o`zgaruvchini almashtirib integrallash usuli deyiladi.
Bu usulda, o`zgaruvchini juda ko`p munosabat bilan almashtirish imkoniyati bo`lgan holda ular orasidan qaralayotgan integralni sodda, hisoblash uchun qulay holga keltiradiganini tanlab olish muhimdir.


1-misol. Ushbu

integral hisoblansin.
◄Bu integralni o`zgaruvchisini almashtirib hisoblaymiz:
►
2-misol. Ushbu

integral hisoblansin.
◄Avvalo berilgan integralni quyidagicha

yozib olamiz. Bu integralni o`zgaruvchini almashtirish usuli-dan foydalanib hisoblaymiz:
►
3-misol. Ushbu

integral hisoblansin.
◄ Ravshanki,

Unda

bo`lib,

bo`lganligi sababli

bo`ladi.
Agar

bo`lishini e`tiborga olsak, unda

ekanini topamiz. ►
4-misol. Ushbu

integral hisoblansin.
◄Integralda o`zgaruvchini quyidagicha almashtiramiz:
.
Unda




bo`lib, undan

bo`lishi kelib chiqadi.
Natijada
(4)
bo`lishini topamiz.►
2⁰. Bo`laklab integrallash usuli. Faraz qilaylik, va funksiyalar uzluksiz , hosilalarga ega bo`lsin.
Ravshanki,

bo`ladi. Demak,

funksiya

funksiyaning boshlang`ich funksiyasi bo`ladi. Bundan

bo`lishi kelib chiqadi.
Aniqmas integralning 3)- va 4)- xossalardan foyda-lanib
(5)
bo`lishini topamiz.
(5) formulani quyidagicha
(5‰)
ham yozish mumkin.
Bu (5‰) formula bo`laklab integrallash formulasi deyiladi. Uning yordamida

integralni hisoblash

integralni hisoblashga keltiriladi.
5-misol.

integral hisoblansin.
◄Bo`laklab integrallash formulasidan foydalanib topamiz:

►
6-misol. Ushbu

integral hisoblansin.
◄ Qaralayotgan integralda

deyilsa, unda

bo`ladi. Bo`laklab integrallash formulasidan foydalanib topamiz:


Demak,


Ma`lumki, (1⁰ dagi 4-misol)

Natijada

bo`lishi kelib chiqadi. ►
7-misol. Ushbu

integral topilsin.
◄ Bu integralda

deb olsak, unda

bo`ladi. (5) formuladan foydalanib topamiz:

.
Natijada

bo`ladi. Bu tenglikdan
(6)
bo`lishi kelib chiqadi. ►
Odatda, (6) munosabat rekkurent formula deyiladi.
Ravshanki, bo`lganda

bo`ladi.
bo`lganda mos integrallar (6) rekkurent formula yordamida topiladi.
Masalan,

bo`ladi. ►
3⁰. Sodda kasrlarni integrallash. Ushbu

ko`rinishdagi funksiyalar sodda kasrlar deyiladi, bunda – haqiqiy sonlar bo`lib, kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas, ya`ni .
bo`lganda sodda kasrlarning integrallari

lar quyidagicha hisoblanadi:



.
Aytaylik, bo`lsin. Bu holda sodda asrlarning integrallari

lar quyidagicha hisoblanadi:




Keyingi munosabatdagi

integral (6 ) rekurrent formula yordamida topiladi.


Mashqlar

1. Ushbu

integral hisoblansin.
2. Ushbu

integral hisoblansin.
3. Quyidagi integralni bo`laklab integrallash natijasida:

bo`lishi kelib chiqadi. Hatolik topilsin.