24 – Маъруза. Тежамли айирмали схемалар

24 – Маъруза.


Тежамли айирмали схемалар.


Режа :

1. 
   Айирмали схемаларнинг камчиликлари.
   
2. 
   Ўзгарувчан йўналишли метод мисоли.
   
3. 
   Тўгри-кўндаланг схеманинг абсолют тургунлиги.
   

1. Айирмали схемаларнинг камчиликлари.
Бу ерда ностационар, кўп ўлчовли математик-физика тенгламаларини ечиш учун махсус методлар тўгрисида тасаввур хосил килинади. Энг аввал махсус методлар яратиш зарурлигини тушунтирамиз. Мисол сифатида икки ўлчовли иссиклик ўтказувчанлик тенгламасини караймиз:
(1)
тўгри тўртбурчак , Г унинг чегараси.Одатдагидек вакт бўйича
_={t_n=n , n=0,1,...,K-1, K_=T}
ва G соха буйича
_h = {x_ij = (x₁⁽ⁱ⁾, x₂^(j)), x₁^(j)=ih₁, x^j₁=jh₂}
бу ерда
i=0,1,…,N₁, j=0,1,2,..,N₂, h₁N₁=l₁, h₂N₂=l₂
_h турнинг ички нукталарини
(i=1,2,...,N₁-1 , j=1,2,...,N₂-2)
_h билан ,_h тур чегара нукталарини _h -билан белгилаймиз. y_ijⁿ=y(x_ij,t_n) бу ерда x_ij_h, t_n _{каби белгилаймиз.}
Биз олдин, иссиклик утказувчанлик тенгламасини ечиш учун ошкор ва ошкормас схемаларини куллаш мумкинлигини курган эдик. Энг аввал ошкор схемани караймиз:
булса, (2)
булса,
булса,
бу ерда




(3)
ошкор схемани караймиз. (2)-схеманинг ечими катламлар буйича

формула ёрдамида топилади. Ошкор схеманинг афзаллиги шундаки y_ijⁿ⁺¹ кийматлар соддагина топилади. Унинг асосий камчилиги абсолют тургунмаслигидадир. (2)-схеманинг бошлангич шартларга нисбатан тургунлик шартини топамиз.
Тургунликни тадкик этишда (x,t) чегаравий шартларни нольга тенг деб оламиз.
_h турда берилган _h да нольга тенг булган тур функциялари H_h⁽⁰⁾ синфини киритамиз.
Бу фазоларда скаляр купайтмани

каби аниклаймиз. H_h⁽⁰⁾ да А операторни
булса,
(4)
y_ij=0, агар x_ij_h булса, каби аниклаймиз.
А оператор бундан олдин урганилган эди. У ерда А узига кушмалиги курсатилган эди ва ихтиёрий yH_h⁽⁰⁾учун
(5)
эканлиги курсатилган эди.
Агар (2)- схемани =0 булганда H_h⁽⁰⁾ фазода оператор тенгламадек ёзсак,
(6)
бу ерда y_n=y(t_n)H_h⁽⁰⁾, куринишни олади.
Шундай килиб, (2)- схема
(7)

каноник куринишга эга булади, бу ерда А (4)-га мувофик аникланган ва B=E бирлик оператор. Тургунлик шарти

(8)
хозирги холда (В=Е булганда) ихтиёрий yH_h⁽⁰⁾ учун

тенгсизлик бажарилишини англатади.
Бу ердан (5)-ни хисобга олиб, (2)- схеманинг
(9)
шарт бажарилганда бошлангич берилганларга нисбатан тургунлигини аниклаймиз. Бу шарт вакт буйича  - кадамга кучли шарт куяди.
Фараз киламиз, h₁=h₂=h булсин. Унда (9)- шарт

куринишни олади.
Мисол учун агар h=0,01 булса, унда тургунлик булганда таъминланади. Фараз киламиз ечимни Т=1 да топиш керак булсин. Унда (2)- схемадан фойдаланиб кадам куйиш керак булади. Бундай кадам билан хисоблаш амалда нокулайдир. Шу сабабли параболик тенгламаларни ечишда ошкор схемалардан фойдаланилмайди. Гиперболик тенгламалар холида тургунлик шарти вакт буйича кадам тартибини фазо буйича кадам тартибидек олишга имкон беради. Шу сабабли ошкор схемалар гиперболик тенгламаларни ечишга параболик тенгламаларни ечишга нисбатан тез-тез ишлатилади.
Энди иссиклик утказувчанлик тенгламасини ечиш учун
булса,
булса, (10)
булса,
ошкормас схемани караймиз. Бу схема  ва h ларнинг ихтиёрий кийматлари учун тургундир.
£акикатдан хам =0 булганда (10) – схемани:
(11)
оператор тенглама куринишда ёзиш мумкин. Бу ерда yH_h⁽⁰⁾ ва А оператор (4)-га мувофик аникланган.
Шундай килиб, (10)-схема (7)-каноник куринишга эга, бу ерда B=E+A, (8)- тургунлик шарти хамма вакт бажарилган. Лекин (10) - ошкормас схемани ечиш анча кийинчиликлар тугдиради.
Чизикли тенгламалар системаларини ечиш методлари бу ерда кул келмайди, чунки системаларнинг тартиби жуда каттадир. £акикатдан хам агар h₁=h₂=0,01 ва l₁=l₂=1 десак. Унда y_ij номаълумлар сони карийб 10000 га тенг. Унинг устига (11)- системани куп марта ечиш билан иш яна хам кийинлашади. (хар бир катламда алохида системани ечиш керак булади.) (11)-система матрицасининг махсус куринишини хисобга оладиган методларни тавсия килиш мумкин.
Шундай методлардан бири Фурьенинг тез алмаштириш методидир. Бошка тугри ва итерацион методлар "Тур тенгламаларини ечиш методлари" кисмида келтирилади. Бу ерда биз (1)-масалани ечишнинг методларидан бири булган, куп улчовли масалани бир улчовли масалалар кетма-кетлигини ечишга келтириладиган методларни караймиз. Бундай ошкор ва ошкормас схемаларнинг яхши томонларини узида мужассамлаштирган айирмали схемалар пайдо булади, яъни абсолют тургун ва ечилиши содда булган схема вужудга келади.