2-mustaqil ishi Differentsial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish, besselp tenglamasi

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent Axborot Texnologiyalari universiteti

Axborot Xavfsizligi fakulteti 1-kurs 710_20-guruh talabasi

O’ralov Elchinning Differensial tenglamalar fanidan yozgan

2-mustaqil ishi

Differentsial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish, besselp tenglamasi

R E J A :

1. 
   Golomorf funktsiya. Darajali qator.
   
2. 
   Tenglamani qatorlar yordamida yechish usuli.
   
3. 
   Besselp tenglamasi.
   
4. 
   Darajali qatorlar yordamida integrallash
   
5. 
   Topshiriqda keltirilgan misolni tartib nomer bo’yicha ishlash
   

Differentsial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish uchun ba’zi tushunchalarni kiritamiz.

f(x) funktsiya x₀ nuqtada golomorf deyiladi, agar x₀ nuqtani biror |x-x₀|< atrofida darajali qatorga yoyish mumkin bo`lsa.

x₀ nuqta oddiy nuqta deyiladi, agar tenglamani koeffitsiyentlari shu nuqtada golomorf bo`lsa, aks holda x₀ nuqta maxsus nuqta deyiladi.

Bizga

(1)

tenglama berilgan bo`lsin. Bunda p(x) va q(x) funktsiyalar x=x<sub>0</sub> nuqtada golomorf bo`lsin, yaoni

yoki x₀=0 bo`lsa,

. (2)

(2)ni (1)ga qo`yamiz.

(3)

(3)ning yechimini

(4)

ko`rinishda qidiramiz. (4)ni (3) ga qo`yamiz

yoki yig`indini bir xil ko`rinishga keltirib,

tenglikka ega bo`lamiz, bu yerda

formuladan foydalanib, quyidagi tenglikni olamiz.

ni oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglab,

formulani hosil qilamiz.

k=0,1,2,… qiymatlari uchun

Bu sistemadan c_k koeffitsiyentlarni topamiz. Demak, 2-tartibli tenglamaning yechimini ixtiyoriy boshlang`ich shart va uning hosilasi yordamida ko`rish mumkin. Bu usulni nomaolum koeffitsiyentlar usuli deyiladi.

Besselp tenglamasini o`zgarmas koeffitsiyentga keltiriladigan tenglamalar sinfida qaralgan edi, yaoni

(5)

yoki

bo`lib x=0 nuqta maxsus nuqta bo`ladi.

(5)ning yechimini

(6)

umumlashgan darajali qator ko`rinishida qidiramiz.

(6)ni (5)ga qo`yamiz

Bu ifodani ga qisqartiramiz va soddalashtiramiz

x^k ni mos tartibi oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglaymiz

(7)

ildiz uchun, (7)dan

yoki

(8)

Shunday qilib, c₁=0 va barcha k lar uchun c_2k+1=0

(8)dan k=1,2,… qiymatlar uchun c₂,c₄,c₆,…,c_2k koeffitsiyentlarni topamiz.

Bu qiymatlari (6)ga qo`yib va =n deb,

Besselp tenglamasining yechimini ifodalaymiz. Xuddi shunday = -n uchun ham yechimni ko`rish mumkin .

Bunda c₀ koeffitsiyentni ko`rinishda olib, gamma funktsiya xossalaridan foydalanib Besselp tenglamasining xususiy yechimini

topamiz.

Xuddi shunday =-n uchun

ikkinchi xususiy yechimni olib, Besselp tenglamasining umumiy yechimini

ko`rinishda, 0<x<, |y|<, soha uchun hosil qilamiz.