11-mavzu: Yasashga doir geometrik masalalar haqida tushuncha. Geometrik figuralarni sirkul va chizg‘ich yordamida yasash bosqichlari

11-mavzu: Yasashga doir geometrik masalalar haqida tushuncha. Geometrik figuralarni sirkul va chizg‘ich yordamida yasash bosqichlari
Reja

1. 
   Yasashga doir geometrik masalalar haqida tushuncha.
   
2. 
   Geometrik figuralarni sirkul va chizg‘ich yordamida yasash bosqichlari
   
3. 
   Yasashga doir geometrik masalalar.
   

Tayanch iboralar:sirkul, yasashga doir geometrik masala, Ptolomey teoremasi, Simon chizig‘i, Styuart teoremasi, Aylananing 9 ta nuqtasi, fazoviy tasavvur, koordinata,yasash bosqich, tahlil bosqichi,tekshirish bosqichi,isbot bosqichi, yasash bosqichi.
Gеomеtriyada har qanday figura nuqtaviy obraz yoki nuqtalar to‘plami sifatida qaraladi. Barcha nuqtalari bir tеkislikka tеgishli bo‘lgan figura tеkis, barcha nuqtalari bir tеkislikka tegishli bo‘lmagan figuralar fazoviy figuralar deyiladi.
Bir yoki bir иесНк! yasash qurollari rositasida ma'lum shartlarga javob bеruvchi деотеИчк figura yasashni talab qiluvchi masalalar yasashga oid gеomеtrik masalalar dеb yuritiladi.
Gеomеtriyaning figuralar yasash hamda yasashga oid masalalar yеchish mеtodlarini o‘rganuvchi bo‘limi kcnstruktiv gеomеtriya dеb ataladi.
Biz asosan tеkislikda bajariladigan yasashga oid gеomеtrik masalalar haqida so‘z yuritamiz. Tеkislikda yasashga oid gеomеtrik masalalar antik Misr, ВоЫ1, Y’uiKm matеmatikasida abhida o‘rin egallagan. Tеkislikda yasashga oid gеomеtrik masalalarni bir qancha yasash asboblari rositasida yasash mumkin. Biz esa faqat chizg‘ich va sirkul vositasida yasaladigan masalalarni ko‘rib chiqamiz.
Shuning uchun gеomеtriyaning bu qismi kcnsttuktiv gеomеtriya yoki sirkul va chizg‘ich gеomеtriyasi dеb ham ataladi.
Tеkislikda yasashga doir gеomеtrik masalalarni yеchish jarayonida yasashga oid quyidagi umumiy aksiomalardan foydalaniladi.
Har bir . figura yasalgandir.
Agar Sva figura yasalgan bo‘lsa.\ - S yasalgandir.
Agar ' "_:bo‘lib Sva figuralar yasalgan bo‘lsa figura yasalgandir.
Agar.\ va figura yasalgan bo‘lib ^z=-\bo‘lsa, u folda yasalgandir.
1'_? Agar /• figura yasalgan bo‘lsa unga tegishli nuqta yasalgandir.
Agar “ figura yasalgan bo‘lsa (“ = S) ga tegishli bo‘lmagan nuqtani yasash mumkin
(ЕЕvklid fazosi nazarda tutiladi).
Agar A va 5 = S’ nuqtalar yasalgan bo‘lsa [AE nurni yasash mumkin.

3:va к-ga asosan [.- S kеsmani yasash mumkin. [.- S ' [S - = [AS.

Agar O nuqta va [AS. kеsma yasalgan bo‘lsa markazi O nuqtada va radiusi AB kеsmaga tеng aylanani yasash mumkin.
{УлД₁₍ YaA₂,YaA₃,YaA_4l YaA₃, YaA_&l YaA₇, УоЛ₃]
yasash akstomalarini sirkul va chizg‘ich yordamida yasash akswmalari dеb ataladi.
Mazkur yasash akstomalari bizga sirkul va chizg‘ich vositasida quyidagi oddiy yasashlarni bajarish {m^rnya-tini bеradi.
3;--_:. Agar A va B nuqtalar yasalgan bo‘lsa[.- S nurni yasash mumkin.

3'■ - - Agar A va B nuqtalar yasalgan bo‘lsa [AS. kеsmani yasash mumkin.

3. 
   - - Agar A va B nuqtalar yasalgan bo‘lsa .-1 S' to‘g‘ri chiziqni yasash mumkin.
   

3- -^ Agar O nuqta va aylana radiusiga tеng [AS. = " yasalgan bo‘lsa 3 3 AS’ aylanani yasash mumkin.
3'■ - 7 O‘zaro paralkl bo‘lmagan ikkita to‘g‘ri chiziqning kеsishish nuqtasini yasash mumkin.
3;-’As Yasalgan 3 3 aylana va AS’ to‘g‘ri chiziqlarning kеsishish nuqtasini topish mumkin (agar ular kеsishsa).

3. 
   -A- Yasalgan ikkita 3 3 "va 3 3 / aylanalarning kеsishish nuqtalarini topish mumkin (agar ular kеsishsa).
   

т Yasalgan figuraga tegishli nuqtani £ /yasash mumkin.
<■- l Yasalgan “ figuraga tegishli bo‘lmagan nuqtani yasash mumkin (bizga bu erda
figuraning figura yasalgan tekislikka teng bo‘lmasligi talab qilinadi).
Tekislikda birorta F figurani yasash uchun chekli sondagi oddiy yasashlarni chizg‘ich va sirkul yordamida bajarish lozim bo‘ladi. Agar lozim bo‘lgan figurani yasash uchun qo‘llaniladigan oddiy yasashlar soni ma'lum darajada chekli bo‘lsa bunday yasashlarni so‘zsiz bajarish mumkin, agar talab qilingan oddiy yasashlar ko‘p sonni tashkil qilsa bu yasashlarni bajarish ko‘p vaqtni olishi bilan bir qatorda zerikarli ham bo‘ladi.
Shuning uchun talab qilingan figurani yasashni oddiy yasashlarga emas balki, bir qancha oddiy yasashlar yordamida bajariladigan asosiy yasashlar deb nomlanadigan yasashlarga keltirish maqsadga muvofiq bo‘ladi.
Tekislikda yasashga oid masalalarni yechishda quyidagi asosiy yasashlardan foydalaniladi.
- • Berilgan uch tomoniga ko‘ra uchburchak yasash.
_: Berilgan kesmani teng ikkiga bo‘lish.
. ’.-I: Berilgan burchakka kongruent bo‘lgan burchak yasash.
Berilgan burchakni teng ikkiga bo‘lish.
-1. - г Berilgan nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar o‘tkazish.
-. - s Berilgan bir tomoni va unga yopishgan ikki burchagiga ko‘ra uchburchak yasash.
■ - - Berilgan ikki tomoni va ular orasidagi bir burchakka ko‘ra uchburchak yasash.
-. -_: Berilgan nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa parallel chiziq o‘tkazish.
-. - 7 Berilgan gipotenuzasi va o‘tkir burchagiga ko‘ra to‘g‘ri burchakli uchburchak yasash.
- ■ Berilgan bir kateti va gipotenuzasiga ko‘ra to‘g‘ri burchakli uchburchak yasash.
ii Aylana tashqarisida olingan nuqtadan aylanaga urinma o‘tkazish.
Yasashga oid geometrik masalalarni yechish jarayoni qaysi metod bilan amalga oshirilishidan qat'iy nazar, u bir qancha bosqichlarda bajariladi va ular tekislikda yasashga oid masalalarni yechish bosqichlari deb yuritiladi. Bular tahlil, yasash, isbot va tekshirish bosqichlari bo‘lib, har bir bosqich masala yechish jarayonida ma'lum bir maqsadni amalga oshirishni nazarda tutadi.
Tahlil bosqichi: Masala yechishning eng muhim, ijodiy bosqichi bo‘lib, bunda yasalishi lozim bo‘lgan F figura, masala talablariga mumkin qadar to‘la javob beradigan darajada taxminan chizib olinadi. Tahlil rasmsida masala shartida berilganlar bor yoqligi aniqlanadi, agar ular rasmda aks etmagan bo‘lsa qo‘shimcha chizib olinadi. Natijada asosiy ya'ni yasalishi lozim bo‘lgan figura bilan hamjihatlikda bo‘lgan bir qancha yordamchi figuralar hosil bo‘ladi. Yordamchi figuralarda masala shartida berilganlar bilan bir qatorda, izlangan ya'ni yasalishi lozim bo‘lgan asosiy figuraning nuqtalari ham joylashadi. Shu tariqa berilganlar va izlanganlar orasidagi bog‘lanishlarni o‘rnatish natijasida asosiy figurani yasash imkoniyatlari axtariladi va aniqlanadi. Yasash mumkin bo‘lgan yordamchi figura orqali izlangan figurani yasashga o‘tiladi.
Yasash bosqichi: Tahlil bosqichada aniqlanganlarni amaliy jihatdan bajarilishini nazarda tutadi.
Bunda yasalishi mumkin bo‘lgan yordamchi figuralar yasash vositalari yordamida yasaladi va ular orqali yasalishi lozim bo‘lgan asosiy figuraning nuqtalari va elementlari yasab olinadi.
Isbot bosqichi: Masala yechimining sinash bosqichi bo‘lib tahlil bosqichida taxminan chizib olingan asosiy figura bilan yasash bosqichida yasalgan figuraning masala shartlariga javob berishi isbotlanadi.
Tekshirish bosqichi: Masala yechishning yakunlash bosqichi hisoblanib, unda masala shartida berilganlarga asosan figura yasash mumkinmi, agar mumkin bo‘lmasa berilganlarni qanday tanlash lozim qanday hollarda echim mavjud, berilganlarga asoslanib nechta figura yasash mumkin, masala nechta yechimga ega ekanligi aniqlanadi.
Yuqorida qayd qilinganlarga asoslangan holda quyidagi yasashga doir masalalarni ko‘rib chiqamiz:

1. 
   «Berilgan kesmani teng ikkiga bo‘lish» masalasi ya'ni AyA2 ni yasaylik. Faraz qilaylik bizga [.-S.kesma berilsin. [.-5. kesmani o‘rtasini topish kerak. Buning uchun dan foydalanamiz.
   

Kesmani uchini markaz qilib taхminan kesma o‘rtasidan katta bo‘lgan kesmani radius qilib 5 - ' aylanani, so‘ngra esa 5 Э ' aylanani chizamiz. Aylanalar kesishish nuqtalari orqali OyA2 ga asosan kesma o‘tkazamiz. O‘tkazilgan kesma bilan berilgan [-S. kesmani kesishish nuqtasi, [.- B^smani o‘rtasi bo‘ladi.

1. 
   [.-B, yasaladi.
   
2. 
   , ■ ■■■ —.
   
3. 
   , " —.
   
4. 
   .
   
5. 
   M.
   
6. 
   [•.••!, ■ •]' [-ib’ = <:;•.
   
7.