1-ta’rif. Agar limit mavjud va chekli bo‘lsa, bu limitga funksiyaning nuqtadagi hosilasi deyiladi (yoki yoki ) kabi belgilanadi. Agar ning biror qiymatida bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada musbat ishorali

1. 
   funksiya intervalda aniqlangan bo‘lsin. Ixtiyoriy nuqtani olamiz va bu nuqtada argumentga orttirma ( ) beramiz. Bunda funksiya orttirma oladi.
   

1-ta’rif. Agar limit mavjud va chekli bo‘lsa, bu limitga funksiyaning nuqtadagi hosilasi deyiladi (yoki yoki ) kabi belgilanadi.

Agar ning biror qiymatida bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada musbat ishorali (manfiy ishorali) cheksiz hosilaga ega deyiladi. Shu sababli 1-ta’rif bilan aniqlanadigan hosila chekli hosila deb yuritiladi.

funksiyaning hosilasini hosila ta’rifini va tangenslar ayirmasi formulasini qo‘llab, topamiz:





2-ta’rif. funksiyaning nuqtadagi o‘ng (chap) hosilasi deb

limitga aytiladi.

Egri chiziqqa o‘tkazilgan urinma haqidagi masalada urinmaning burchak koeffitsiyenti uchun ushbu

tenglik hosil qilingan edi.

Bu tenglikni ko‘inishda yozamiz, ya’ni hosila funksiya grafigiga nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentiga teng. Bu jumla hosilaning geometrik ma’nosini ifodalaydi.

2. 
   
   

funksiya kesmada aniqlangan bo’lsin. kesmaning shartni qanoatlantiradigan chekli sondagi nuqtalar sistemasiga kesmaning bo’linishi deyiladi va u kabi belgilanadi. nuqta bo’linishning bo’luvchi nuqtasi kesma esa, qism oralig’i deyiladi. Agar kesmaning ixtiyoriy bo’linishidagi qism oralig’ining uzunliklari bir xil bo’lsa, u holda, bunday bo’linish, kesmaning regulyar bo’linishi deyiladi. , bo’linishning diametri, deb ataladi. Har bir kesmadan nuqtani olamiz: .

1.1 – ta’rif. Ushbu

(1.1)

yig’indiga, funksiyaning, bo’linishga va nuqtani tanlashga mos kelgan, integral yig’indisi (Riman yig’indisi) deb ataladi.

1.2– ta’rif. Agar olinganda ham, shunday mavjud bo’lib, diametri bo’lgan kesmaning har qanday bo’linishida, hamda nuqtani tanlashga bog’liq bo’lmagan holda,

(1.2)

tengsizlik bajarilsa, u holda, shu son, integral yig’indining limiti deyiladi va u kabi yoziladi.

1.3– ta’rif. Agar funksiya uchun, (1.1) integral yig’indining da limiti mavjud bo’lsa, u holda, funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi deyiladi.

Integral yig’indining limitiga funksiyadan kesma bo’yicha olingan aniq integral (Riman ma’nosida) deyiladi va u

(1.3)

simvol orqali belgilanadi (1.3) da, - integral ostidagi funksiya, son- integralning quyi chegarasi, son esa,- integralning yuqori chegarasi, deb ataladi. Integral ostidagi o’zgaruvchini boshqa o’zgaruvchiga almashtirish ham mumkin, ya’ni

3. 
   
   

va h.k..

Ta’rif bo’yicha, ( deb olamiz).

Nyuton-Leybnis formulasi. Yuqorida ko’rdikki, agar funksiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u shu kesmada boshlang’ich funksiyalarga ega bo’ladi. Aniq integralning 11⁰ -xossasiga asosan,

funksiya, funksiyaning boshlang’ich funksiyalaridan biridir. funksiyaning kesmadagi ixtiyoriy boshlang’ich funksyasi bo’lsin. Ma’lumki, va boshlang’ich funksiyalarning biri, ikkinchisidan o’zgarmas songa farq qiladi, ya’ni

.

Bundan, deb olib,

ekanligini topamiz, ya’ni uchun,

(3.1)

Nyuton – Leybnis formulasiga ega bo’lamiz. Odatda, (3.1) formula, integral hisobning asosiy formulasi, deb ham yuritiladi.