1. Parallel tekisliklar Kesishuvchi tekisliklar

Reja:
1. Parallel tekisliklar
2. Kesishuvchi tekisliklar
3.Tayanch iboralar va tushunchalar.
Parallel tekisliklar, kesishuvchi tekisliklar, tekisliklarning kesishuv chizig‛i tekislikka parallel to’g'ri
chiziq, to'g'ri chiziqni tekislik bilan kesishuv nuqtasi.
Parallel tekisliklar
Ta‛rif. Agar bir tekislikka tegishli o'zaro kesishuvchi ikki to'g'ri chiziqlar ikkinchi tekislikka tegishli
o'zaro kesishuvchi ikki to'g'ri chiziqlarga mos ravishda parallel bo'lsa, bunday tekisliklar ham o'zaro
parallel deyiladi.
Agar Q tekislikka tegishli a∩b kesishuvchi to'g'ri chiziqlar ikkinchi P tekislikka tegishli
a1∩b1 kesishuvchi to'g'ri chiziqlarga mos ravishda o'zaro parallel bo'lsa, bu tekisliklar ham o'zaro
parallel bo'ladi .
Agar fazodagi ikki tekislik bir-biriga parallel bo'lsa, chizmada bu tekisliklarning bir nomli izlari ham
o'zaro parallel bo'ladi, ya'ni: Q R bo'lsa; QH RH,, QV RV va QW RW bo'ladi .
Chizmada profil proyeksiyalovchi tekisliklar uchun ularning gorizontal va frontal izlari parallel
bo'lishi yetarli bo'lmaydi. Masalan G va G1 tekisliklarda GH G1H va GV G1V bo'lib, GW ≠G1W bo'lgani uchun G≠ G1 bo'ladi.
Bu tekisliklarning o'zaro vaziyatini tekisliklarga tegishli a va b to'g'ri chiziqlar yordami bilan ham
aniqlash mumkin, bunda a⊂G1 va b⊂G bo'lgan holda a" ∥b" bo'lsa, a' ≠b‛ bo'lgani
uchun a≠b va G≠G1 bo'ladi.
Togri chiziq va tekisliklarning parallelligi va perpendikulyarligi
1-tarif. Fazodagi ikki togri chiziq bir tekislikda yotsa, agar kesishmasa,
ular parallel togri chiziq deyiladi.Kesishmaydigan va bitta tekislikda
yotmaydigan togri chiziqlar ayqash togri chiziqlar deyiladi.
Teorema. Togri chiziqdan tashqaridagi nuqtadan shu togri chiziqqa parallel
togri chiziq otkazish mumkin va faqat bitta.
Teorema. Uchinchi togri chiziqqa parallel ikki togri chiziq paralleldir.
Teorema. Agar tekislikda yotmagan togri chiziq shu tekislikdagi biror togri chiziqqa parallel bolsa,
u holda u tekislikning oziga ham parallel boladi.
Tarif. Agar ikki tekislik kesishmasa parallel deyiladi. Teorema. Ikkita tekislikdan biri ikkinchi tekislikda yotgan kesishuvchi ikkita togri chiziqqa parallel
bolsa , bu ikki tekislik parallel boladi.
Teorema. Tekislikdan tashqaridagi nuqta orqali berilgan tekislikka parallel qilib bitta va faqat bitta
tekislik otkazish mumkin.
Teorema. Agar ikkita parallel tekislik uchinchi tekislik bilan kesishsa, u
holda kesishish togri chiziqlari parallel boladi.
Teorema. Ikkita parallel tekislik orasiga joylashgan parallel togri chiziqlarning kesmalari teng.
Tarif. Tekislikdagidek, togri burchak ostida kesishgan ikki togri chiziq
perpendikulyar togri chiziqlar deyiladi.
Teorema. Perpendikulyar togri chiziqlarga mos ravishda parallel bolgan
kesishuvchi togri chiziqlarning ozlari ham perpendikulyardir.
Tarif. Agar tekislikni kesib otuvchi togri chiziq tekislikdagi shu kesishish
nuqtasidan otuvchi istalgan togri chiziqqa perpendikulyar bolsa, togri chiziq shu
tekislikka perpendikulyar deyiladi.
Teorema. Agar tekislikni kesib otuvchi togri chiziq tekislikdagi shu kesishish nuqtasidan
otuvchi togri chiziqqa perpendiculyar bolsa, bu togri chiziq tekislikka perpandikulyar
boladi.
Teorema. Agar tekislik ikkita parallel togri chiziqdan birga perpendikulyar
bolsa, u holda ikkinchisiga ham perpendikulyardir.
Teorema. Bitta tekislikda perpendikular ikki togri chiziq ozaro paralleldir.
Teorema.(Uch perpendikulyar haqida teorema) Tekislikda ogmaning asosida uning
proyeksiyasiga perpendikulyar qilib otkazilgan togri chiziq ogmaning oziga ham
perpendikulyardir. Aksincha, tekislikdagi togri chiziq ogmaga perpendikulyar
bolsa, u ogmaning oziga ham perpendikulyardir.
Tarif. Kesishuvchi ikkita tekislikning kesishgan togri chizigiga perpendikulyar bolgan uchinchi
tekislik ularni perpendikulyar togri chiziqlar boyicha kesib otsa, bu ikki tekislik perpendikulyar
tekisliklar deyiladi.
Teorema. Agar tekislik boshqa bir tekislikka perpendikulyar togri chiziq orqali otsa, bu
tekisliklar perpendikulyardir.
Teorema. Ikkita perpendikulyar tekislikning birida yotuvchi togri chiziq shu
tekisliklar kesishgan togri chiziqqa togri perpendikulyar bolsa, ikkinchi tekislikka
ham perpendikular boladi.
Tarif. Ikki ayqash togri chiziqning umumiy perpendikulyari deb, uchlari shu togri chiziqlarda
bolib, ularning har biriga perpendikulyar bolgan kesmaga aytiladi.
Ayqash togri chiziqlar umumiy perpendikularining uzunligi ular orasidagi masofa deyiladi.
Tekisliklarning o‘zaro parallelligi
Ta’rif. Agar bir tekislikka tegishli o‘zaro kesishuvchi ikki to‘g‘ri chiziqlar ikkinchi tekislikka tegishli
o‘zaro kesishuvchi ikki to‘g‘ri chiziqlarga mos ravishda parallel bo‘lsa, bu tekisliklar ham o‘zaro
parallel bo‘ladilar.
Agar Q tekislikka tegishli aÇb kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar ikkinchi P tekislikka tegishli
a1Çb1 kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlarga mos ravishda o‘zaro parallel bo‘lsa, bu tekisliklar ham o‘zaro
parallel bo‘ladi. Ya’ni aÌQ, bÌQ bo‘lib, aÇb bo‘lsa va a1ÌP va b1ÌP bo‘lib a1Çb1 bo‘lsa hamda a
a1, bb1 bo‘lganda Q || P bo‘ladi
Agar fazodagi ikki tekislik bir-biriga parallel bo‘lsa, chizmada bu tekisliklarning bir nomli izlari ham
o‘zaro parallel bo‘ladi, ya’ni: Q∥P bo‘lsa QH∥PH, QV∥PV va QW || PW bo‘ladi
Chizmada profil proyeksiyalovchi tekisliklar uchun ularning gorizontal va frontal izlari parallel
bo‘lishi yetarli bo‘lmaydi. Masalan, 97-rasmda
berilgan G va G1 tekisliklarda GHG1H va GVG1V bo‘lib, GW∦G1W bo‘lgani uchun G∦G1 bo‘ladi. Bu
tekisliklarning o‘zaro vaziyatini tekisliklarga tegishli a va b to‘g‘ri chiziqlar yordami bilan ham
aniqlash mumkin, bunda aÌG1 va bÌG bo‘lgan holda a″||b″ bo‘lsa, a′∦b′ bo‘lgani
uchun a∦b va G∦G1 bo‘ladi.
Fazodagi ixtiyoriy nuqta orqali berilgan tekislikka faqat bitta parallel tekislik o‘tkazish mumkin.
1-masala. A (A′, A″) nuqtadan Q (QH, QV) tekislikka parallel P(PH, PV) tekislik o‘tkazish talab qilinsin
Echish. Tekisliklarning parallellik xususiyatlariga ko‘ra P tekislikning
izlari PH QH va PY QY PW || QW bo‘lishi shart. Misolni yechish uchun to‘g‘ri chiziq va tekislikning
parallellik shartlaridan foydalanib, A nuqtaning A′ va A″ proyeksiyalaridan Q tekislikka parallel qilib
ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq, jumladan h (h′, h″) gorizontali o‘tkaziladi
Bu gorizontalning frontal izi h″V yasalib, undan izlangan P tekislikning PV izini berilgan
tekislikning QV iziga parallel qilib o‘tkaziladi.
So‘ngra PVÇOx=PX nuqtasidan Q tekislikning QH iziga parallel qilib izlangan tekislikning PH izi
o‘tkaziladi.
2-masala. E(E′, E″) nuqtadan a(a′, a″) va b(b′, b″) parallel chiziqlar bilan berilgan tekislikka parallel
tekislik o‘tkazish talab qilinsin
Echish. Berilgan (a∥b) tekislikka tegishli ixtiyoriy c(c′, c″) to‘g‘ri chiziqni o‘tkazib,
so‘ngra E nuqtaning E′ va E″ proyeksiyalaridan a va s chiziqlar proyeksiyalariga mos ravishda
parallel qilib o‘tkazilgan m′Çn′, m″Çn″ kesishuvchi chiziqlar proyeksiyalari izlangan tekislik
proyeksiyasi bo‘ladi.
Tekislikka tegishli bo‘lmagan nuqtadan mazkur tekislikka parallel bo‘lgan cheksiz ko‘p to‘g‘ri
chiziqlar o‘tkazish mumkin. Bunday to‘g‘ri chiziqlar to‘plami berilgan tekislikka parallel bo‘lgan
tekislikni ifodalaydi.[1] To’g’ri chiziqlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlari.Bir nuqtadan
o’tuvchi to’g’ri chiziq dastasi formulasi formulasi
Misol. To‘g‘ri chiziqlar 2x+3y+10=0 va 4x-5y-5=0 tenglamalar bilan berilgan. Shu to‘g‘ri chiziqlar
va M(2;3) nuqta orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi tuzilsin.
Yechish: Dastlab berilgan to‘g‘ri chiziqlardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar dastasi tenglamasini tuzamiz.
2x+3y+10 + (4x-5y-5)=0 (*)
Bu to‘g‘ri chiziqlar dastasidan M (1;2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni ajratib olishimiz kerak. Biz
izlayotgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini M nuqta koordinatalari qanoatlantirishi kerak. Shuning
uchun M nuqta koordinatalarini (*) tenglamaga qo‘yamiz.
Bu qiymatni (*) tenglamaga qo‘yib izlanayotgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini olamiz. 116x -79y + 5 = 0
1-Misol. 4x-3y+6=0 to‘g‘ri chiziqning normal vektorini ko‘rsating.
Yechish. Normal vektor ={A;B} ko‘rinishda bo‘lgani uchun berilgan to‘g‘ri chiziq
tenglamasida A=4;B=-3.
Shuning uchun ={4;-3}
2-Misol. 2x+y-4=0 va x-y+1=0 to‘g‘ri chiziqlarni kesishish nuqtasi orqali o‘tib x+y-5=0 to‘g‘ri
chiziqqa perpendikular bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
Yechish. Dastlab ikki to‘g‘ri chiziqni kesishish nuqtasini topamiz, buning uchun kesishish nuqtasini
koordinatalarini x1;y1 deb olamiz. u holda
sistemadan x1=1;y1=2 ga ega bo‘lamiz.
Izlanayotgan to‘g‘ri chiziqni yo‘naltiruvchi vektori sifatida x+y-5=0 to‘g‘ri chiziqning normal
vektorini olsa bo‘ladi. = y holda izlanayotgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi tubandagicha bo‘ladi.
1(x-1)+1(y-2)=0 yoki x+y-3=0
1 -Misol. M1(3;2) va M2(4;3) nuqtalar orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsientini
toping.
Yechish: formulaga ko‘ra bundan k=tga=1
Demak, = 450
2-Misol. (Ox) o‘qi bilan 600 burchak tashkil etib M1(2;-3) nuqta orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq
tenglamasini tuzing.
106-chizma
Yechish. Izlanayotgan to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsienti
k=tg =tg600= ga teng. (10) tenglamaga x0=2; y0=-3 qiymatlarni qo‘yib quyidagi tenglamaga ega
bo‘lamiz.
yoki ;
Misol x-4y+3=0 va 2x-y+5=0 to‘g‘ri chiziqlarning tekislikda joylashuvini tekshiring.
Yechish. Tekislikda joylashuvini tekshirish uchun tubandagi sistemani tekshiramiz
By sistemadan kesishish nuqtasini topamiz: Nuqtadan togri chiziqqacha bolgan masofa.
Aytaylik М0 (х0;у0) nuqta va undan otmaydigan biror togri chiziq uzining umumiy
tеnglamasi ах+ву+с=0 bilan bеrilgan bolsin. Bеrilgan nuqta va shu togri chiziq orasidagi
masofani topish masalasini qoyamiz.
y
n (a,b)
М0 (х0,у0)
М1 (х1,у1)
x
Bеrilgan togri chiziqqa pеrpеndikulyar bolgan vа М1М0=(x0-x1; y0-y1) vеktorlar parallеl boladi.
Bundа togri chiziqning normal vеktori, M1 esa togri chiziqqa M0 nuqtada otkazilgan
pеrpеndikulyar asosini ifodalaydi. Chizmaga asosan va skalyar kopaytmaning har ikkala
korinishiga binoan
М1М0 = | | | М1М0 | cos0=a(x0 - x1) + b (y0 - y1),
= a(x0 - x1) + b(y0 - y1) (2)
Bundа d=| М1М0 | izlanayotgan masofani ifodalaydi.
М1(х1;у1 ) nuqta bеrilgan togri chiziqda yotganligi uchun uning koordinatalari togri chiziq
tеnglamasini qanoatlantiradi, ya'ni
a x1 + в y1 + c = 0 => a x1 + в y1 = - c.
Bo’larni hisobga olib, (2) ni quyidagicha yozish mumkin:
a x0 + в y0 – (a x1 + в y1) = (± d) ,
a x0 + в y0 +c = (± d) ,
. (3)
3-m i s o l : 2х-3у+1=0 togri chiziq va M(2;1) nuqtalar orasidagi masofani toping.
Е ch i sh: Bеrilganlarni (3) formulaga qoyib, bеrilgan nuqta va togri chiziq orasidagi masofani
topamiz:
d = |2 2 – 31 + 1| / = 2 /
Izox: Oldingi ma'ruzada normal tеnglamasi bilan bеrilgan togri chiziq bilan М0(х0,у0) orasidagi
masofа
d = |х0cos + у0sin  - р|
formula bilan ham topilishi korsatilgan edi.
Oz-ozini nazorat etish savollari:
Ikki togri chiziq orasidagi burchak qanday topiladi?
Togri chiziqlarning pеrpеndikulyarlik sharti nimadan iborat?
Togri chiziqlarning parallеllik shartini yozing.
Nuqtadan togri chiziqqacha bo’lgan masofa qanday topiladi? Nuqta va to‘g‘ri chiziq orasidagi
masofani aniqlash.
To‘g‘ri chiziq va unga tegishli bo‘lmagan nuqta orasidagi masofa shu nuqtadan mazkur to‘g‘ri
chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning uzunligi bilan o‘lchanadi.
a) b)
Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani quyidagi tartibda aniqlanadi
§ A nuqtadan b to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar qilib Q tekislik o‘tkaziladi: Q∋A, Q^b.
§ Berilgan b to‘g‘ri chiziqning Q tekislik bilan kesishish K nuqtasini aniqlanadi: A1= bÇQ.
§ A va K nuqtalarni o‘zaro tutashtirilsa hosil bo‘lgan AK kesma A nuqtadan b to‘g‘ri chiziqqacha
bo‘lgan masofa bo‘ladi. Chizmada A(A′,A″) nuqtadan b(b′,b″) to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani
aniqlash uchun:
§ A nuqtadan b to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar Q tekislik o‘tkazish uchun bu tekislikning h(h′,h″)
gorizontali va f(f′, f ″) frontalini A(A′, A″) nuqtadan b(b′,b″) to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar qilib
o‘tkaziladi: ya’ni h′∋A′, h′^b′ va h″∋A″, h″Ox hamda f′∋A′, f″Ox va f′∋A′, f″⊥b″.
§ Berilgan b to‘g‘ri chiziqning Q tekislik bilan kesishish nuqtasi K ning K′ va K″ proyeksiyalari
aniqlash uchun b(b′, b″) to‘g‘ri chiziqdan yordamchi gorizontal proyeksiyalovchi M(MH, MV) tekislik
o‘tkaziladi. Q va M tekisliklarning kesishish chizig‘i 12 =QÇM ning 1′2′, 1″2″ proyeksiyalari yasaladi.