1. масаланинг қЎйилиши

1. МАСАЛАНИНГ ҚЎЙИЛИШИ

Кундалик хаётимизда учрайдиган кўп мухандислик масалаларини ечишда аниқ интегралларни ҳисоблашга тўғри келади. Фараз қилайлик, ҳисоблаш талаб этилсин. Бу ерда ф(х) - [а; б] кесмада берилган узлуксиз функция. Бу интегрални ҳисоблашда қуйидаги формула (Нъютон—Лейбниц формуласи) қўллаиилади:

бу ерда Ф(х) – бошлангич функция. Агар бошлангич функция Ф(х) ни элементар функциялар орқали ифодалаб бўлмаса ёки интеграл остидаги функция ф(х) жадвал кўринишида берилса, у ҳолда (5.1) формуладан фойдаланиш мумкин эмас. Бу ҳолда аниқ интегрални тақрибий формулалар орқали ҳисоблашга тўғри келади. Бундай формулаларга квадратур формулалар дейилади.


2. АНИҚ ИНТЕГРАЛНИНГ ГЕОМЕТРИК МАЪНОСИ

Бундай формулаларни келтириб чиқариш учун аниқ интегралнинг геометрик маъносини билмоклик лозим.

Агар [а; б] кесмада ф(х)  0 бўлса, у ҳолда нинг қиймати сон жихатидан й = ф(х) функцияни графиги ҳамда х=а, х=б, тўғри чизиқлар билан чегараланган шакл (фигура) нинг юзига тенг (11-расм). Агар [а;б] кесмада ф(х)< 0 бўлса, интегралнинг қиймати юқорида келтирилган шаклнинг тескари ишора билан олинган юзига тенг (12-раcм).

11- расм 12-расм

Шундай килиб аниқ интегрални ҳисоблаш деганда бирор шаклнинг юзини ҳисоблаш тушунилади. Қуйида аниқ интегрални ҳисоблаш учун баъзи тақрибий формула­лар билан танишиб чиқамиз.


3. ТЎҒРИ ТУРТБУРЧАКЛАР ВА ТРАПЕТСИЯЛАР ФОРМУЛАСИ

Фараз қилайлик, биздан аниқ интегралнинг тақрибий қийматини топиш талаб этилсин. х₀, х₁, х₂, . . . х_н нуқталар ёрдамида [а; б] кесмани п та тенг бўлакчаларга бўламиз. Ҳар бир бўлакчанинг узунлиги . Бўлиниш нуқталари эса:

х₀ = а; х₁ = а + ҳ; х₂ = х + 2ҳ; х₃ = а+3ҳ … х_н-1 = а+(н-1)ҳ; х_н = б
Бу нуқталарни тугун нуқталар деб атаймиз. ф(х) функциянинг тугун нуқталаридаги қийматлари й₀, й₁, й₂, … й_н бўлсин. Бўлар й₀ = ф(а); й₁ = ф(х₁) … й_н=ф(б) ларга тенг бўлади .
Егри чизиқли трапециянинг юзини топиш учун [а,б] кесмани бўлиш натижасида ҳосил бўлган барча туртбурчакларнинг юзини ҳисоблаб, уларни жамлаш керак бўлади. Албатта бу юзачаларни ҳисоблашларда маълум даражада хатоликларга йўл қўйилади (штрихланган юзачалар). Бўларни ва 5.1-да айтилган аниқ интегралнинг геометрик маъносини ҳисобга олсак, қуйидагини ёзишимиз мумкин бўлади:

(5.2)
Бу ерда тўғри туртбурчак юзини ҳисоблашда унинг чап томон ординатаси олинди. Агар унг томон ординатами олсак ҳам шундай формулага эга бўламиз:

(5.3)
(5.2) ва (5.3) ларни мое равишда чап ва унг формулалар дейилади. Агар 13- расмга эътибор берсак, (5.2) формула билан интегралнинг қиймати ҳисобланганда интегралнинг тақрибий қиймати аниқ қийматидан маълум даражада камроқ чиқади, (5.3) ёрдамида ҳисобланганда эса тақрибий қиймат аниқ қийматдан маълум даражада каттарок чиқади. Яъни (5.2) ва (5.3) формулалар ёрдамида аниқ интегралнинг тақрибий қиймати ҳисоблан­ганда бу формулалардан бири интегралнинг аниқ қийматини ками билан ифодаласа, иккинчиси эса кўпи билан ифодалайди. 13- расмдан кўринадики, (5.2) ва (5.3) формулаларни қўллаганда йўл қўйиладиган хатоликни камайтириш учун бўлиниш нуқталарини иложи борича кўпрок олиш, яъни кадам ҳ ни тобора кичрайтириш лозим бўлади. Албатта, ҳ ни кичрайтириш ҳисоблаш жараёнининг кескин ўсишига олиб келади. Бу нарсадан хавотирга тушмаслигимиз керак, чунки бутун ҳисоблаш жараёни ЭҲМ га юкланади.
Мисол. Тўғри туртбурчаклар формулалари (5.2) ва (5.3) ёрдамида интегралнинг тақрибий қийматлари топилсин.
Ечиш. Бу ерда а=0; б=1; н=10; ҳ=(б- а)/н=0,1.

х₀=а=0; х₁=а+ҳ=0,1; х₂=а+2ҳ=0,2; х₃=а+3ҳ=0,3
х₄=а+4ҳ=0,9 … х₉=а+9ҳ=0,9; х₁₀=б=1


(5.2) дан
(5.3) дан
Маълумки, . Бўлардан кўринадики, аниқ ечим чап ва унг формулалар орқали топилган ечимлар орасида ётади.
Топилган ечимлар 0,718 ва 0,668 нинг ўрта арифметигини олсак, бу 0,693 га тенг бўлади, бу эса аниқ ечим билан устма-уст тушади.
Бу хулосаларни назарга олган ҳолда (5.2) ва (5.3) формулалар ҳад-ларини моc равишда кушиб ўрта арифметигини олсак, қуйидаги ифода ҳосил бўлади:
(5.4)
(5.4) формула трапециялар формуласи деб аталади. Бу формула ёрдамида топилган интегралнинг тақрибии қийматининг аниқлигини ошириш учун бўлиниш нуқталари сони н» ни икки, уч ва х.к. марта ошириш керак бўлади. Албатта бунда ҳам ҳисоблаш хажми бир неча маротаба ошади.