1– laboratoriya ishi Matematik mayatnik yordamida og`irlik kuchi tezlanishini aniqlash Kerakli asbob va materiallar

1– laboratoriya ishi

Matematik mayatnik yordamida og`irlik kuchi tezlanishini aniqlash

Kerakli asbob va materiallar: 1)qurilma 2)sekundomer 3) shtangentsirkul 4) mm – li chizg`ich.

Qisqacha nazariya

Jismlarning muvoznat vaziyati atrofida u yoki bu aniqlikda davriy ravishda takrorlanadigan harakatiga tebranma harakat yoki tebranish deb ataladi. Eng oddiy tebranma harakatlaridan biri – bu garmonik tebranma harakat bo‘lib, bunday harakat parametrlari sinus yoki kosinus qonuni bo‘yicha o‘zgarib turadi:

x = x₀ sin (t+ ) (1)

Bu yerda x₀, , ₀ lar mos ravishda tebranishlarning amplitudasi, siklik chastotasi va boshlang‘ich fazasidir. (1) tenglama ko‘rinishdagi qonuniyat bilan ro‘y beradigan harakat quyidagi differensial tenglamaning yechimi ekanligi aniq ishonch hosil qilish mumkin:

(2)

Garmonik tebranishda moddiy nuqtani muvozanat vaziyatiga qaytaruvchi va unga ta’sir etuvchi kuch

ga teng. U x siljishga proporsional va qarama - qarshi yo‘nalishga ega bo‘ladi. U doim muvozanat vaziyati tomon yo‘nalgan bo‘lib, moddiy nuqtaning muvozanat vaziyatidan kichik og‘ishlarida davriy ravishda paydo bo‘lib turadi va shu kuch ta’sirida mayatnik davriy tebranma harakat qiladi.

Matematik mayatnik deb cho‘zilmaydigan va vaznsiz ipga osilgan moddiy nuqta deb hisoblash mumkin bo‘lgan og’ir sharchadan tashkil topgan va muvozanat vaziyatidan chiqarilganda muvozanat vaziyati atrofida davriy tebranma harakat qila oluvchi sistemaga aytiladi. Real sharoitlarda moddiy nuqta sifatida o‘lchamlari osma uzunligiga nisbatan e’tiborga olmasa ham bo‘ladigan darajada kichik bo‘lgan sharchani olish mumkin. Ma’lum bir shart-sharoitlarda matematik mayatnik tebranishlari garmonik bo‘lib, uning yordamida og‘irlik kuchi tezlanishi g ni aniqlash mumkin. Matematik mayatnik osilish nuqtasi 0 (1-rasm) atrofida tebranma harakat qila olganligi uchun uning harakatini aylanma harakat dinamikasining asosiy qonuni tenglamasi orqali ham ifodalash mumkin:

(3)

Bunda I - mayatnikning 0 nuqtaga nisbatan inertsiya momenti,  - burchak tezlanish.

1-rasm

M – mayatnikning muvozanat vaziyatiga qaytaruvchi kuchning momenti. Agar

I=ml²;

M= - Plsin= - mglsin, P=mg

ekanini hisobga olsak, (2) tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi:

ml² = - mglsin (4)

yoki

. (4')

(4) tenglamadagi minus ishora og‘irlik kuchi momenti vektori bilan burchak siljishi vektori o‘zaro qarama-qarshi yo‘nalganligini ko‘rsatadi.

Mayatnikning kichik burchaklarda og‘ib tebranishi uchun (1012⁰) da sin   o‘rinli bo‘ladi va bu holda (4') tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi:

(5)

(2) va (5) ni taqqoslasak:

(6)

ekani kelib chiqadi. Shunday qilib, matematik mayatnikning kichik tebranishlari garmonik harakat bo‘lar ekan:

=₀ sin(t+₀) (7)

Agar x=l ekanligini hisobga olsak, u holda

x=x₀sin(t+₀) (7')

Agar matematik mayatnikning tebranish davrini T bilan belgilasak va sinus funksiyaning davri 2 ga tengligini e’tiborga olsak,

[(t+T)+ ₀]-( t+₀) = 2

dan ekanligi kelib chiqadi, (6) ni e’tiborga olib

(8)

ni hosil qilamiz. (8) dan matematik mayatnik qonunlarini tavsiflash mumkin: a) matematik mayatnikbibg tebranish davri sharchaning massasiga bog‘liq emas, b) tebranish amplitudasi kichik bo‘lganda, uning tebranish davri T amplitudasi (x₀=A) ga bog‘liq emas, c) matematik mayatnikning tebranish davri va . Bu tenglamadan ko‘rinib turibdiki, matematik mayatnikning tebranish davrini o‘lchash orqali og‘irlik kuchi tezlanishini aniqlash mumkin ekan, ya’ni

. (9)

Bu ifodadan foydalanilganda, uni ideal holat uchun yaqin olinganligini, ya’ni ipning vazni, sharning o‘lchamlari e’tiborga olinmaganligini, ipni esa cho‘zilmas deb hisoblanganligini nazarda tutish kerak.

Quyidagi qanday hollarda bunday soddalashtirishlar o‘rinli bo‘lishi ko‘rib o‘taylik:

Mayatnikning 0 nuqtaga nisbatan to‘liq inertsiya momenti sharni moddiy nuqta deb hisoblangandagi inertsiya momenti (I_sh), sharning og‘irlik markazidan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan inertsiya momenti (I_m) va ipning 0 nuqtaga nisbatan inertsiya momenti (I_i) larining yig‘indilaridan iborat bo‘ladi:

I= I_sh + I_m + I_i =ml² = ml²+ (2/5)mr² + (1/3)m_il² (10)

Bu yerda m_i - ipning massasi, m - sharning massasi, r - sharning radiusi. Agar sharning massasini 200 g atrofida deb hisoblasak, (9) ifodadan ko‘rinadiki, l >20 sm qiymatlarida I_i va I_m larning umumiy I ga qo’shadigan hissasi e’tiborga olmasa bo‘ladigan darajada kichik bo‘ladi, ya’ni < 0,005.

Endi ipning cho‘zilmaslik shartini qarab chiqamiz. Mayatnik tebranma harakat qilganda taranglik kuchi F₁₌mg·cos dan (chetki holatda)

gacha (muvozanat holatdan o‘tish vaqtida) o‘zgaradi. Energiyaning saqlanish qonuniga asosan: bu yerda h=l·(1-cos) - sharning ko‘tarilish balandligi (1-rasm). Bularni hisobga olsak, tebranish vaqtida taranglik kuchining o‘zgarishi uchun quyidagi ifoda kelib chiqadi:

(11)

Yo‘l qo‘yilishi mumkin bo‘lgan maksimal siljish burchagi =0,2 radian (12⁰) bo‘lganda cos=0,98 bo‘lib, taranglik kuchining o‘zgarishi F=0,06mg bo‘ladi. Bunday sharoitlarda mustahkam paxta ipi yoki po‘lat sim uchun ularning uzayishi hisobga olmasa bo‘ladigan darajada kichik bo‘lishini tekshirib ko‘rish mumkin. (8) ifodani chiqarishda biz ishqalanish kuchlarini hisobga olmagan edik. Ishqalanish kuchlari ta’sirida tebranish amplitudasi kamayib boradi va tebranish davri (8) formula beradigan qiymatdan kattaroq bo‘ladi:

(12)

Bu yerda в - tebranuvchi jism o‘lchamlariga va tebranish yuz berayotgan muhitning xususiyatlariga bog‘liq bo‘lgan kattalik. Bu kattalik amplituda e-marta kamayish uchun ketgan vaqtning teskari qiymatiga teng. Agar shu vaqt oralig‘ida mayatnik N marta tebrangan bo‘lsa, bo‘ladi. U vaqtda (12) ifodani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

(13)

Odatda tebranishlar soni 50 dan kam olinmaydi. Demak va (13) ifoda katta aniqlik bilan (8) ifodadan farq qilmaydi.