1. § Функции Бесселя мнимого аргумента



Download 369,13 Kb.
Sana04.06.2022
Hajmi369,13 Kb.
#635053
Bog'liq
kgs gl13 07


ности, при

Аналогично,

Из формул (62) непосредственно вытекают следующие соотношения между функциями Ханкеля, у которых значок отличается лишь знаком:

Далее, так как функции Ханкеля выражаются линейно через функции и , то они удовлетворяют тем же рекуррентным формулам, что и эти функции, а именно:

В заключение этого параграфа приведем без доказательства асимптотические представления функций Ханкеля:
1. § 7. Функции Бесселя мнимого аргумента
Во многих задачах математической физики встречается уравнение

Нетрудно проверить, что это уравнение получается из уравнения Бесселя после замены в последнем на ix Следовательно, функция есть частное решение уравнения . Так как урав-

нение (65) однородно, то произведение на произвольную постоянную есть также решение данного уравнения. Выберем эту постоянную равной и введем обозначение

При указанном выборе постоянной рассматриваемое нами частное решение уравнения (65) будет выражаться рядом

Функция также является решением уравнения , и если не целое число, то и суть два линейно-независимых решения уравнения (65). Если - целое число, то функции и линейно-зависимы, так как

что непосредственно вытекает из формул (66) и (16).
Для получения общего решения уравнения (65) надо найти другое, линейно-независимое от , частное решение.
Это частное решение, носящее название функции Макдональда, берется в виде

При целом правая часть равенства (69) принимает неопределенный вид, что легко следует из соотношения (68). Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим следующее выражение для функции при целом :

B частности,

Отметим, что при .
Так как и суть два линейно-независимых решения уравнения (65) при любом значении , то его общее решение можно написать в таком виде:

где и произвольные постоянные.
B заключение заметим, что растет неограниченно при , а функция стремится к нулю при , как это видно из асимптотических представлений этих функций, приводимых здесь без доказательства:

3 АДАчИ

  1. Доказать формулы.



  1. Разложить в ряд Фурье- Бесселя функцию . Ответ :



  1. Разложить в интервале функцию в ряд по функциям


где -положительные корнн уравнения.

Omвem:


  1. Доказать справедливость разложения


и получить отсюда формулы Бесселя

Ук а за н и е. Воспользоваться формулой (57).

  1. Доказать справедливость формул:

  2. Доказать, что


У к аз а н и е. Воспользоваться дифференциальным уравнением для функции .
rsa B a XIV

2. & 1. Свободные колебания подвешенной нити
Рассмотрим тяжелую однородную гибкую нить длины . Нить закреплена верхним концом в точке и совершает колебания под действием силы тяжести. Максимальное отклонение ее нижнего конца от вертикали равно . За ось примем вертикальное направление, вдоль которого расположится нить, когда под действием своего веса она займет прямолинейное положение. Обозначим через отклонение точек нити от положения равновесия в момент времени (рис. 22).
Будем рассматривать малье колебания такие, что можно пренебречь квадратом производной по сравнению с единицей. Тогда

где -угол между касательной в точке с абсциссой к нити в момент времени и положительным направлением оси .
Натяжение нити в точке с абсциссой равно весу части нити, расположенной вниз от , т. е. , где -линейная


Download 369,13 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish