|
А А * = А * А
‘
0
0
келиб чиқади, бу ерда
с1
= бе
1
Л .
а
0
.
0
а
.
.
0
.
0
= а - Е
(
8
.
2
)
.
а
183
,
www.ziyouz.com kutubxonasi
Энди ҳошиялаш методини тушунтиришга ўтамиз. Бунинг учун
Л п
матрицани
-*+ —
1
а
(п-1)
' ( х -
1
)
V
а„
(8.3)
кўринишда ёзи5 оламиз. Бу ерда
т; (п- 1)
~ ~ < п -
1 )
,
и
=
{аи , а 2п,
,
сьп—\, п)
I
V
' "
"
=
( а
п и
а
п
2
,
Энди Лч — X
Еп
матрицага бирихтирилган матрицани С ()■) =
Сп
()Х ==
=
[ < + ( ) 1
орқали белгилаб, (3.1) тепгликдан
С,т
(;) =
О п -\ (К)
эканлигини кўрамиз, (3.3) тенглихдагидек,
Сп
(X) ни ҳам катакларга
•бўламиз:.
,
Сп (})
В у ерда
£ г - \
('0
+ ('!~ 1) (Х)
Л 1" - »
Оп
- 1 ( х)
: (« -
1
).
" ' М
= ( с „ , ( ' ) . < ? л а ( Х ) ,
. . .
,
С п , п - \ £ ) ) \
Л ^ Ч Х ) ^ » , ^ ) , . . . ,
Сп_ и п {\))
бўлиб, С„_,
(А)
эса
А п_\
матрицаиинг характеристик кўпҳадидир.
(
8
.
2
) тенгликдан
{ А п - к Е
п ) С п (,.) = В п ( к ) Е п
еки
А п _
1 —
Х С „ _ ,
— ( « - 1 )
1
и к
1
'
С
й _ , ( X )
ё
( п ~ } ) ( Ц
а п п ~ 1
.
.
Л
( " - ] ) ( Х )
А , - , ( Х ) ]
О п ( ' ) £ п
V I
п
-
1 V ' 1/ 3
га эга бўлампз. Бундан эса қуйидаги
(
(А„_
, - X
(X) +
й ^ Оп_\
(X) = 0,
I
{ п - ё { п ~ 1) ( > )
+
( а п п
-
> 0 А
, - ,
0 )
=
А , ( > ■ ) •
( 8 , 4
тенгликлар келиб чиқади. Бу тенгликларнинг биринчисидан
§ {п~1)
(X)
ни топамиз. Бунинг учун биринчи тенгликни
X
ё ^
(X) =
Ап_\
+ 1'1- 1' (X) + а
Оп_\
(X)
(
8
.5)
шаклда ёзиб олиш маъқулдир. Бу тенгликдан
Оп-\
(X) = Х»-> +
Ч\
X»-» +
92
Х«-
з
+ . . . +
д„_\
(
8
.
6
)
бўлганлиги учун, кўрамизки,
§
('1- 1) (X) вектор X га нисбатан
( п - 2 ) -
даражали вектор — кўпҳаддир:
§
(д_1) (X) «
Ь0(п- 1)
Х
п- 2
+
Ғ\ {п~1)
Х»-з + . . . + £<"+1).
(8.7)
Буни ва (
8
.
6
) ни (8.5) га қўйиб, X нинг бир хил даражалари
184
www.ziyouz.com kutubxonasi
олдидаги коэффициентларни солиштирсак,
Ь)п
( / = 0,
п—
2) лар
учун қуйидаги тенгликларга эга бўламиз:
*7я-1) =
+ ^ЙГя-
1
),
/8-8\
/,(«-!) =
Оп
- 2
:
Ап- х Ь ^
> +
дп^и<-п~1).
Шундай қилиб, бевосита /),(>■) ни ҳисоблаб, кейин кетма-кет
£)3(Х),
Л
4
(Я), . . . , £)„(Я) ларни ҳисоблаймиз.
М и с о л. Қуйидаги
1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 1
матрицанинг характеристик кўпҳади топилсин.
Е ч и ш. Аввало
А
=
Г 1 2
* 3 1
Аг
—
2
1
. 2
_ 3
2
. 1 _
= Х2 — 2Х— 3 дан ф
фициентларини (8.8) дан топамиз:
ь о2)
=“
'” = [ 1
ч Ч - п г н г н и .
Энди
£<2>(Х)
ни (®-
4
) га ҚЎ^И®’
ни
^осни қиламиз:
£>з(Х)
= [3,2] ( [ 2 ] Х + [ 4 ] ) + (1 ~ ^
2 -
2Х
-
3) = - Хз +
3X2
+ 14Х + 8.
Энди Л4 = + деб олиб, ^ (3) (X) ни топамиз:
Ц3)- ~
‘ 4 '
' 1 2
3 '
' 4 "
' 4 '
' —4 '
3
*<3> = -
2
1 2
3
+ 3
3
=
—6
_ 2 _
_ 3
2
1
- 2 _
_ 2 _
_—12
Ж)
.
° 2
' 1 2
3 '
' 4 "
" 4 '
' —2 '
2
1 2
6
+ 14
3
=
0
. 3 2
1 _
_ 14 _
_ 2
_ - Ю _
ёО)(Х)
= _
Ниҳоят,
0 4(к)
ни топамиз:
йЛХ)
= [4, 3,
2
] ^ —
+ 3X2 + 14Х + 8) = XI — 4 \з
"
' 4 '
' 2 "
Х2 —
6
X —
0
_ 14
. Ю _
' 4 '
' 4 '
Г
3
Х2 —
6
X —
2
14
2 1
)
10
_]/
10
40 Х2 — 56 X
+
(1
— X) (
20
.
- X
3
+
1 8 5
www.ziyouz.com kutubxonasi
9- §. ХОС СОНЛАРНИНГ ҚИСМИЙ МУАММОСИНИ ЕЧИШНИНГ
ИТЕРАЦИОН МЕТОДЛАРИ
Бу параграфда биз хос сонларнинг қисмий муаммосини ечиш-
нинг энг содда методларини кўриб чиқамиз. Бундан ташқари қа-
раладиган матрицаларимиз оддий структурага эга деб фараз қила-
миз.
:
,
.
. .
' Га ъ р и ф. Агар
п-
тартибли А квадрат матрица
п
та чизиқ-
ли эркли хос векторларга эга бўлса, бундай матрица
оддий струк
-
турага зга
дейилади.
Чизиқли алгебрадан маълумки, матрицаларнинг қуйидаги синф-
лари оддий структурага эга:
1. С и м м е т р и к м а т р и ц а , чунки унинг хос қийматлари
қақиқий сонлар бўлиб, хос векторлардан тузилган ортогонал ба-
зис мавжуддир.
2. Э р м и т м а т р и ц а с и , унинг барча хос сонлари ҳақиқий
бўлиб, хос векторларидан мос равишдаги
п
ўлчовли комплекс
фазода ортонормал базис тузиш мумкин.
3. Н о р м а л м а т р и ц а . Агар
А
матрица ўзининг қўшмаси
А*
билан коммутатив, яъни
АА* = А*А
бўлса, у ҳолда
А матрица
нормал
дейилади. Умуман олганда, бу учта синфга тегишли мат-
рицалардан ташқари оддий структурага эга бўлган бошқа матри-
цалар ҳам мавжуд. Биз аввал модули бўйича энг катта хос сон
ва унга мос келган хос векторни тояиш билан шуғулланамиз. К е-
йин эса модули бўйича катталик жиҳатдан иккинчи ўринда тур-
ган хос сон ва унга мос келадиган хос векторни топамиз.
Энг катта хос сон ва унга мос келадиган хос векторни
топишда дараж али метод. Фараз қилайлик, А матрица оддий
структурага эга ва унинг хос сонлари
Я ,,
. . . ,
К„
бўл и б,
уларга мос келадиган чизиқли эркли хос векторлар
л:(2), . . . ,
х <п)
бўлсин. Бу ерда тўрт ҳолни кўриб чиқамиз:
1
- ҳ о л . А матрицанинг хос сонларидан биттаси модули бўйича
энг катта бўлсин. Умумийликка зарар етказмасдан хос сонлар
қуйидаги тартибда жойлашган деб фараз қилишимиз мумкин;
[^||
>1К1 >
1^з| > • ■ •
>1К\-
(9.1)
Биз
К
нинг тақрибий кийматини топиш усулини кўрсатамиз. И х -
тиёрий нолдан фарқли у '0) векторни олиб, уни А матрица х о с в е к -
торлари бўйича ёямиз:
у<о) =
ьхх<~1)
+
Ь1
х
<
-2)
+ . . . +
Ьпх <п).
Б у ерда
Ъ{
лар ўзгармас сонлар бўлиб, айримлари ноль бўлиши
ҳам' мумкин. у (0) вектор устида
А и
матрица ёрдамида алмаштириш
бажарамиз:
П
ў ч = А*ў(0) = 2
Ь^АЪс^.
1=1
186
www.ziyouz.com kutubxonasi
Б у ердан
А кх+> —
эканлигини ҳисобга олиб,
П
ў(*) = 2
(9.2)
/ =
1
га эга бўламиз.
_ _
Энди
п
ўлчовли векторлар фазоси /?„ да ихтиёрий
еи е2,
. . . ,
~еп
базис оламиз. Шу базисда
ў<*> = (уР. У^. • • • .
У(пк)У>
* (/) = (х 1;-,
х г], . . . ,
бўлсин. (
9
.
2
) тенгликни координаталарда ёзиб чикамиз:
П
У\к)
]Хи
А/ (г —
1
,
п).
/=
1
(9.3)
Ш унга ўхшаш
(9.4)
У\к+1) = У>Ь1х иЧ+1 • ■
/ - 1
деб белгилаб, (9.4) ни (9.3) га
Бу ерда
си = Ь }х и
бўламиз:
у(А+
1
)
С ц ^ 1
+
С1А+1
+ • ' • + С*+л
+1
(9.5)
у\к)
С
+ 1
+
с+ 2
+ • • • +
с1п У-п
Фараз қилайлик,
сц ФО
бўлсин, бунга эришиш учун дастлабки
вектор у (0> ва
еи е.2, . . . , е„
базисни керакли равишда
п
X
танлаш
керак. Энди
Ли
=
—■
ва ^ = ^ деб (9.5) ни қуйидагича
ёзамиз:
у\к+1)
,
1
+
к+1
+ • • • +
а1прк
п+1
(9.6)
У\к)
1
1
+
а.1
2^2
+ • . • +
Бу ердан эса (9.1) ни ҳисобга олсак,
к-усю
да ^ < . . .
V
/
- > 0
келиб чиқади.
Демак, (9.6) ни қуйидагича ёзишимиз мумкин:
«(*+!)
— Г ^ Х ^ 1 + °(||х 2р+1)]
[1 +
0 ( | а / ) ] а
=
Я1[1
+ 0 ( Ь | " ) 1 =
= А.( +
0
(|и-2[*).
Бу ердан эса етарлича катта
к
лар учун
у(^+
1
)
V . . .
У >
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
