|
Бу ерда Данилевский методидаги норегуляр ҳолнинг биринчи вариантига дуч
келдик. Шунинг учун ҳам /1(1) матрицани чап ва ўнг томонидан
£/ =
и ади:
■ 0
1
0
0 '
1
0
0
0
0
0
1
0
. 0
0
0
1 -
- ва
2-
устунларнинг ўринлари
23
—4
0
—2“
-5
23
1
23
2
~ 2
0
64 46 —477
0
0
1
0 _ •
.
Бу матрицага Данилевский методининг навбатдаги қадамини қўллаймиз:
д(2> =
м ^1
гм(1)
ЦМ2
=
“ 1
0
0
0_
23
- 4
0
- 2“
1
0
0 0 _
1
23
1
46 477
0
64
46
-477
- 5
23
2
2
0
64
64
64
0
0
1
0
0
64
46 — 477
0
0
1
0
_ 0
0
0
1_
_
0
0
1
0 _
0
0
0
1 _
23 —
1
46
509
16
16
' "16
=
320
69
—1503
10235
0
0
0
0
0
1
0
Л(3) =
м - 1
Л(2) Л*1 аз
1
46
509“
—320 69 —1503 10235
23
—Тб
16
~ Т б
0
1
0
0
—320
69
—1503
10235
X
0
0
1
0
0
1
0
0
_ 0
0
0
1 _
_ 0
0
1
0..
-
I
320
69
320
1503
320
10235-]
320
92 — 3070
43884
— 225225
0
1
0
0
=
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
Ь
о
0
0
1
_]
0
0
1
0
_|
Демак,
Р
(X) = X* — 92 X3 + 3070 X* — 43884 X + 225225.
Кўпайтувчиларга ажратиб,
Р
(X)
=
(X — 13) (X — 21) (X — 25) (X — 33)
ии ҳосил қиламиз. Бундан эса хос сонларни топамиз:
X, — 13, Хд = 21, Хд = 25, X* = ]3.
173
www.ziyouz.com kutubxonasi
Энди хос векторларни топамиз. Бу ерда 5 =
М3 11М3 М^
бўлганлиги учун
(4.3) — (4.4) формулаларга кўра
:(1)
= Мг Ц М 3 М г у ({) = М311М2
МЛ
~
1
69
1503
10235“
133
320 320
320
320
0
1
0
0
132
0
0
1
0
13
_
0
0
0
1 _
_ 1 _
_1_
64
0
0
0
0
46 477
'64 64
1
0
0
1
_ _
1
_
' 1
‘
2
132
13
=
М,
0
1
1
0
0
-
0
0
0
1
_
Г
2
З^
4
13
_
1
_
0
0
" 3 “
4
1
0
0
0
1
, 0
1
0
0
2
0— 2 —
1 23
13
4 4
1
0
0
0
1
~ 3 ~
“ 3~
—
—
4
4
3
1
1
1
2
2
—
2
13
3
“ 4
6
2
1
1
4
Шундай қилиб, л:*1* = (3,2,6,4)'. Шу йўл билан ҳисоблаб, қолган хос вектор-
ларни ҳам топамиз:
х {2)
= (3, 2, — 6, 4)' ,
х {3)
= (3, — 2, 6, — 4 )', л:(4) = (3, — 2 , - 6 , 4)'.
5- §. ЛЕВЕРЬЕ МЕТОДИ
А
матрица
Р
(X) = X» - Л Х»-‘ -
р2
X»-’ - . . . -
рп
(5.!)
хос кўпҳадининг илдизларини Ҳ , Х2, . . . , Хл билан, шу илдизлар-
нинг симметрик функцияларини эса
8 к
билан белгилаймиз:
П
5 , = ^
{к = ~ п ) .
(5.2)
1=1
Хос кўпҳаднинг коэффипиентлари р, ,
р
2 , . . . ,
Рп
билан
5 к
ларни
боғлайдиган қуйидаги
Ньютон формулалари
мавжуд:
Р\ $к~
1
• • • —
Рк
- 1
—
кРк —
0
{к —
1,
п).
(5.3)
Бу формулалардан кейинчалик ҳам фойдаланамиз. Уларни исбот-
лаш учун Р(Х) ни қуйидагича ёзиб оламиз:
,
Р О )
= (X — х,) (X — Х2) . . . (X — хй).
Б у тенгликни дифференциалласак,
п
п
п
( Х - Х у)
(=1
/ =
1,/*1
V
Р(1)
(5.4)
176
www.ziyouz.com kutubxonasi
айният келиб чиқади. Бу айниятнинг ўнг томонини ҳисоблаймизг
=
х» - 1
+ ( _ р , + X,) Х
«-2
+ ( -
р,
- р, X, + + ) X
"-3
+ . . . +
‘
+
(~Рп-1
-
Рп-2
. . . - Р. хг 2+ Х Г 1)
(5.5>
(г *я
1
,
2
, . . . , л).
Иккинчи томондан
Р'
(л) =
п
Хп
—1
— (га — 1) р, Х
л -2
—
(п
— 2) р
2
Х
л_3
— . . . — р,,_!
ни ҳисобга олиб, (5.4) айниятни қуйидагича ёзиш мумкин:
Р'(Х) = лХ
я -1
— ( « — 1) р, Х
л-2
—
(п
— 2 )р
2
Х
л- 3
— . . . .— рп_ , = г
ш 11
X
»- 1
+ ( -
П
р, + Г ) Ал-а + ( -
П р г
-
р, 5 , + 5 а) Х
«-3
+
+ ( —
п
р
3
— р
2
5 , — р, 5
2
+ 5 3) Хп
1
+ . . . +
+ (-- /1р„_| ---
Рг;-'2$1
Р , - з Г
. . .
Р
1
5п_2 + 5, _! ).
(5.6);
Бундан қуйидагилар келиб чиқади:
—
(п —
1)
Р\
= — лРг + 5 1(
— (я — 2) р
2
= —
п р2 —
р, 5^ + 5 2,
— (я — 3)рз = — / г р з - р
2
5 , — р , 5
2
+ 5з,
(5 .7 )
■
Рл
—1
:
^
Рп —
1
Рп—
2
5 ,
. . .
Р] 5
Я_ 2
+
5
й
_
1
.
Б у тенгликларни соддалаштирсак:
5 ^ — р, =
0
.
5
2
— Р , 5 , — 2 р
2
= 0,
5
3
— Р
1
5
2
— р
2
5 , — 3 р
3
= 0,
(5 .8 )
, 5 „_, - Р
1 5
я_ 2— . . . - р я_
2
5 , — (л— 1)ря_, = 0.
Булардан кетма-кет р , , р 2, . . . , р„_! ларни аниқлаймиз.
рп
ни ҳосил қилиш учун қуйидагилардан фойдаланамиз:
+ (М ==^ —
Рх
М
1-1
— • • • —
Рп —
1
— Р„ = 0
т
1
( У = X" — Р, х
«- 1
_ . . . —
Рп—\
— Рл = 0-
+ ( + ) = ^ - Р Г + ' 1 - .
. . - Р н - х К - Р п ^ О -
Энди буларни қўшиб,
5 Я - р, 5 Я_, - . . . — р
„_1
Г -
п рп
= 0
(5 .9 )
тенгликка эга бўламиз. Бу тенглик (5.8) билан бирга
Ньютон
формулаларини
беради.
Хос кўпҳад козффициентларини (5.8) — (5.9) лардан фойдаланиб
кетма-кет қуйидагича ҳосил қиламиз:
Р
1
— 5 ,,
Р
2
— ~2
(5
2
Р
1
5 4),
Рп
=
(5 Я — Р
1
5 Я_!
. . .
Р я -
1
^
1
)*
12— 2105
17Т
www.ziyouz.com kutubxonasi
Агар 5 1( 5 2, . . . , 5 Я маълум бўлса, бу формулалар ёрдамида
Р
у
, Р
2
, ■
• •
, Рп
топилади. Маълумки, 5 , Л матрицанинг изига тенг:
5* =
Х
2
. . .
Хл = 1г
А.
Иккинчи томондан X*, X*, . . . , X* лар Л* —
матрицанингхос
чонлари эканлигини ҳам биламиз, шунинг учун ҳам
5* = Х} + Х £+ . . . + х‘ = *г Л ‘ = 2 Х * ).
1=1
Шундай қилиб,
Р
(л) хос кўпҳаднинг козффициентларини топиш
учун Л 2, Л 3, . . . ,
А п
матрицаларни ҳосил қилиб, уларнинг изи
П
5
а
=
2
а!Р
(£ =
1
,
п)
ни топиш керак.
1=1
'
■
Матрица изини топиш учун бу матрицанинг фақат диагонал
элементларини билиш кифоядир. Шунинг учун ҳам
т = \^1 ^
!^ деб
•олиэ, Л2, Л3, . . . ,
А т
ни ҳосил қилиш ҳамда
А т+1, А т+2,
. . . ,
А п
матрицаларнинг фақат диагонал элементларини ҳисоблаш керак.
Бу эса ҳисоблашни анча қисқартиради.
Шунга қарамасдан Леверье методи ж уда кўп меҳнат талаб
■қилади.
М и с о л. Леверье методи билан
‘ —1
2
2
0 ’
*
А
=
2
1 3
2
2 —1 2
3
-
0
2
1 - 2 .
матрицанинг характеристиқ кўпҳади топилсин.
„
„
Г4 + П
Е ч и ш. Бу ерда
т
= —
| = 2 булганлиги учун Л3 ни ҳисоблаб, Л*
жа
А4
лариинг фақат диагонал элементларини топамиз:
Л
3
=
' —1
2
2
о -|
' — Г
2
2
0 '
~ 9
—2
8
10"
2
1 3
2
2
1 3
2
6
6
15
7
2
—1 2
3
2
—1 2
3
=
0
7
8 —2
-
0
2
1 —2 _
.
0
2
1 —2 .
- 6
—3
6
11-
Лз =
—1
2
2
0
2
1 3
2
2 —1 2
3
0
2
1 —2
~ 9
—2
8
10
'3
~
6
6
15
7
17
0
7
8 —2
—
35
- 6 —3
6
11 .
.
- 1 0 .
Л‘ =
9 —2
8
10
6
6 15
7
0
7
8 —2
6 —3
6
1
Г
~ 9
—2
8
10 ~
~ 129
~
6
. 6
И
7
108
0
7
8
—2
—
159
л
. 6
—3
6
11 .
-
148 .
www.ziyouz.com kutubxonasi
= 1г Л - — 1 + 1 + 2 — 2 = 0,
5 2 = 1г Л2 = 9 + 6 + 8 + 11 = 34,
53 = 1г Лз = 3 + 17 + 35 — 10 = 45,
5 4 = 1г
А*
= 129 + 108 + 159 + 148 = 542.
Энди (5.10) формулалар ёрдамида
Р\
= 51 = 0,
Рз — ~2 $ а
—
Рг^И ~
17,
р 3= ■д- (53 —
Р\
5 2
— Рч
5х) = 15,
Рз— ~^
( $ 1
—
Рг
53 —
Ра
—
Рз
5 0 =*
9
Демак, бу ердан
ларни топамиз.
Демак,
р
(X) =
— 17 Х2 — 15 X + 9
берилган матрицанинг характеристик кўпҳадидир.
6- §. Д. К. ФАДДЕЕВ МЕТОДИ
Д . К. Фаддеев Леверье методини шундай такомилдаштирдики
натижада, берилган
А
матрицанииг хос кўпҳадини топиш билав
бир вақтда унга тескари бўлган
А ~ 1
матрицани ҳамда
А
матри-
цанинг хос векторларини ҳам топиш мумкин бўлади.
Леверье методидаги
А, А 2,
. . .
, А п
матрицалар кетма-кетлиги
ўрнидаги ушбу
А и Аг,
. . . ,
А п
кетма-кетликни Д . К. Фаддеев
қуйидагича аниқлайди:
А^
—
А,
1г
А\
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
