|
— \х^\
матрицани то-
пиш учун асосий
АА~1
=
Е
муносабатдан ф-лдаланамиз, бу ерда
Е
бирлик матрица, Л ва Л
- 1
матрицаларни ўзаро кўпайтирсак,
п?
та
х^
номаълумларга нисбатан асосий матрицаси бир хил ва фа-
қат озод ҳадлари билангина фарқ қиладиган
п
та тенгламалар сис-
темасига эга бўламиз:
&\\Х\
4~
(Ху^х^
4 “ • • •
^\пР^п
1
0
. . . 0,
о,2\Х\
+
а^х^
+ . . . +
&чпх п^=
0
1
. . . 0,
441*^4 +
+ • • • + + /+ я
^ 0
. . . 1.
Бундай системани Гаусс методи билан бирданига ечиш мумкин.
Мисол
учун
(2.11) система
" 2
4,2
1,6
—3
А
=
0,4
3
—2
0
1,6
—0,8
1
—1
_ 1
—2
—1
1.5
матрицасининг тескаоисини топайлик.
Ечиш. Гаусс ке.чпакт схемасини қўллаймиз. Бу ҳолда тўртта озод ҳад-
лар устунига эга бўламиз (11-жадвал). Шуни ҳам эслатиб ўтамизки, тес-
кари матрицанинг сатр элементлари тескари тартибда ҳосил бўлади.
11-жадвал натижасидан қуйидагига эга бўламиз:
- 0,28239 — 0,06801
— 0,06915
0,51865
~
А ~\ =
0,38037 — 0,19364
— 1,70539
0,29046
0,51408 — 0,77686
— 1,04425
0,33195
- 0,66162 — 0,73076
— 1,59058
0,92945
-
92
www.ziyouz.com kutubxonasi
11
-
жад
вал
СО 0 С 0 Ю
0 5
Ю
-
м
<м
2
,7
6
—
2
,8
4
—
2
,4
0
,7
1
8
7
5
0
,1
4
9
9
9
—
3
,5
2
0
8
5
0
,0
7
1
4
2
0
,2
9
0
2
2
—
0
,7
3
0
2
7
—
0
,9
7
5
0
8
—
0
,2
2
8
2
0
0
,6
6
3
8
8
•***
о
о о — •
о
о о
О
о —
о
(
0
,9
2
9
4
5
0
,3
3
1
9
5
0
,2
9
0
4
6
0
,5
1
8
6
5
00
о о — < о
о
о — о
о
О
—
0
,4
7
6
1
9
—
1
,7
1
1
3
1
—
1
,5
9
0
5
8
—
1
,0
4
4
2
5
—
0
,7
0
5
3
9
—
0
,0
6
9
1
5
еч
о — • о о
о
— о о
0
,2
6
0
4
2
1
,0
8
3
3
4
1
,0
6
7
7
2
—
0
,5
1
5
8
8
—
0
,7
8
6
2
2
—
0
,7
3
0
7
6
—
0
,7
7
6
8
6
—
0
,1
9
3
6
4
—
0
,0
6
8
0
1
1
- н о о о
0
,5
0
,
2
—
0
,8
—
0
,5
0
,0
5
2
0
8
—
0
,5
8
3
3
5
—
0
,2
8
6
4
7
0
,2
7
7
7
9
0
,7
1
1
8
4
0
,6
6
1
6
2
0
,5
1
4
0
8
0
,3
8
0
3
7
0
,2
8
2
3
9
ю
С 0 О "
^
1
1
Ю
7
—
0
,6
1
,4
3
—
0
,1
5
6
2
5
1
0
,7
5
0
0
0
2
,3
5
9
3
7
—
0
,3
5
7
1
4
1
1
,0
7
5
9
0
СО
Я
1
,6
—
2
1
1
...........................
—
0
,8
—
1
,6
8
—
0
,2
8
-
1
.
8
—
0
,4
3
7
5
0
—
2
,
1
0
0
0
0
—
3
,5
9
3
7
5
-
о Г
X
4
,2
3
—
0
,
8
—
2
.
.............
.............
..........
<м
1
3
,8
4
—
4
,1
6
-
4
,1
-
Н
2
—
0
,4
1
,
6
1
-
9&
www.ziyouz.com kutubxonasi
Т е к ш и р и ш у ч у н
А А ~ г
к ў п а й т м а н и т у з а й л и к :
' 2
4,2
' 1,6
—3 "
'0,28239
—0,06801
—0,06915
0,51865"
—0,4
3
—2
0
0,38037
—0,19364
—0,70539
0,29046
1,6
—0,8
1
—1
0,51408
—0,77686
— 1,04425
0,33195
1
—2
—1
1,5
0,66162
—0,73076
—1,59058
0,92945
~
1,00000
0,00001
—0,00003
0,00000
—
0,00001
1,0000
—
0,00001
—
0,00001
0,00001
-
0,00001
1,00000
0,00001
0,0000Г
-
0,00002
-0,00003
0,99996
- = £ + Ю-: -
0
—1
1
Г
1
0
—1 —2
—3
—1
0
—3
0
—1
1 —4
Бу ердан кўринадики,
АА~1
кўпайтма матрица
влементлари
Е
бирлик
матрицанинг мос элементларидан фақатгина вергулдан кейинги бешинчи
хона рақамлари билангина фарҳ қилади, демак аниқлик қониқаппидир
3- §. КВАДРАТ ИЛДИЗЛАР МЕТОДИ
Ушбу ва кейинги параграфлардаги методларда махсус хоссалар-
га эга бўлган матрицалардан фойдаланишга тўғри келади, шунинг
учун аввало шу матрицаларни таърифлаб ўтамиз.
Агар барча
I
ва у лар учун
сх* = ~ у 2
бўлса (бу ерда
ап
усти-
даги чизиқ қўшма комплекс сонни билдиради) элементлари а*. дан
иборат бўлган А* матрица берилган
А
=
[ац\
матрицага нисбатан
қўшма
матрица дейилади.
Агар
А
квадрат матрица ўзининг қўшмаси А* билан устма-уст
тушса, яъни
А* = А
бўлса, у
Э р т т матрацаси ёки ўз-ўзига
қўшма матрица
дейилади. Элементлари ҳақиқий соидан иборат
бўлган Эрмит матрицаси
симметрик матрица
дейилади. Бу
матрица
А' = А
тенглик билан аниқланади.
Агар
АА*
=
Е
(3.1)
бажарилса, у ҳолда
А ўнитар матрица
дейилади, бу ерда
Е —
бирлик матрица.
Унитар матрица қуйидаги хоссаларга эга:
1) Агар
А
унитар матрица бўлса, у ҳолда унинг детерминанти
модули 1 га тенг бўлган комплекс сондир. Ҳақиқатан ҳам, (3 .1 )
га кўра
с1е!АА* = бе!:А-с1е1А* = (1е1А • бе! А = |с 1 е М |2 =
1
.
2) Агар А унитар матрица бўлса, у ҳолда А _ 1 = А * . Буни
всботлаш учун (3.1) ни чапдан А -1 га кўпайтириш кифоядир.
3) Агар
А
унитар матрица бўлса, у ҳолда А* ҳам унитардир.
94
www.ziyouz.com kutubxonasi
4)
Иккита унитар матрицаларнинг кўпайтмаси унитар матрица-
дир. Ҳақиқатан ҳам,
А
ва
В
унитар матрицалар бўлсин, у ҳолда
{АВ) (АВ)* = АВВ*А*
=
АҒ.А*
= Л Л* =
Е.
Энди квадрат илдизлар методини кўриб чиқайлик. Фараз қилай-
лик,
А
Эрмит матрицаси бўлсин. Квадрат илдизлар методининг
ғояси
А
матрицани учбурчак ва диагонал матрицалар кўпайтмаси
шаклида тасвирлашдан иборатдир:
А
=
Т*ОТ,
(3.2)
б у ерда
Г
/
М1
(,2
.
•
Лп
т
=
0
^22
•
•
^2 л
0
0
.
•
^пп
юқори учбурчак матрица бўлиб,
О
эса
йи
элементлари + 1 ёки
— 1 дан иборат бўлган
йи
0 . . . 0 -
о
=
0
й22
.
. 0
0
0 . . •
^пп
диагонал матрицадир.
Т
матрица элементларини топиш учун (3.2) тенгликдан, матри-
цаларни кўпайтириш қоидасига асосланиб, ^ ларга нисбатан қуйи-
даги тенгламалар системасини ҳосил қиламиз:
й\
КпР^и +
л
-
—
(» < у ),
+
Уа\2^и — а и ((
= У), (/ = 1, 2, . . . ,
п)
(3.3)
Бу ерда
(и
лар
(и
билан ўзаро қўшма комплекс сонлардир. (3.3)
системада тенгламаларнинг сони номаълумларнинг сонидан я тага
кам. (3.3) системадан
1и
лар ягона равишда топилиши учун
йн
ларни шундйй танлаб оламизки,
(п
лар ҳақиқий ва мусбат бўлсин.
У вақтда ($.3) системанинг иккинчи тенгламасидан
1
= 1 бўлганда
\(цУйи = аи
га эга бўламиз. Энди
й и =
з^ п я ц деб олиб
(и
учун
1п
= / | « и |
ни ҳосил қиламиз. (3.3) еистеманинг биринчи тенгламасидан
( = \
бўлганда
(,,
= / V ■
( / = 2, 3, . . . ,
п)
келиб чиқади. Шунга
'
“11Г11
ўхшаш (3.3) системада
1 = 2
бўлганда аввал иккинчи тенгламадан
(% 2
ни, сўнгра биринчи тенгламадан
(7]
ни топамиз:
^ 2 3
==
31
§
п
(
я
22
РпР
^
и
),
^22
=
/ | ® 2 2
'
рир
^
и
! ,
^2]
а2у —
]
^22^23
и
= з ,
п).
95
www.ziyouz.com kutubxonasi
Шундай қилиб,
Т
нинг аввалги иккита сатр элементларини
топиш учун формулалар чиқардик. Ш унга ўхшаш,
Т
матрицанинг
қолган элементларини ҳам топамиз. Умумий ҳолда ҳисоблашлар
қуйидаги формулалар ёрдамида олиб борилади:
1/
и I
*
“11*11
С?Ц —
/ ц — р^|Нц|,
Т -
—
( - 1
^н = 8 1 § п ( а „ - 2 1*,|1 *<*„),
5=1
I—
1
Пг-
I
I
*н
12 ^„1
( / > 1 ) ,
5=1
£ —1
а1}
^ + + + У
_____ $=1_______
(/ —
I
+ 1
,п).
(3.4)
Шундай қилиб, (3.2) ёйилма мавжуд ва (3.4) формулалар ёрдами-
да аниқланади. Ниҳоят,
А х
=
Ь
системани ечиш учун уни
А — Т*ОТ
ёйилмадан фойдаланиб, қуйи-
даги иккита учбурчак матрицали системалар шаклида ёзиб оламиз:
Т*Оу = Ъ,
Тх = у.
Бу системаларни ёйиб ёзсак,
.
Г \ Л \ У \ *=Ьи
"Ь ^22^-2
2
У
2
= ^21
• * * * * ’ * * * * * * * • • * • • •
•
1\п<}\\У\
+
^ЧгД-пУч
+ . . . +
1пп<}ппУп — Ьп.
ва
+ + +
^\
1Х 1
+ . . . +
Ь\пХп — У\,
^22+1 + " • " +
I2пХп —
У
21
^ппх п
—
Уп
га эга бўламиз. Бундан эса, кетма-кет қуйидагиларни ҳосил қи-
ламиз:
ва
У\
1\\<}\
1 -1
_
Хп
Уп
__
1пп
*
XI
■
п
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
