Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

Эрмит матрицасининг эле-
мектлари бирор / ва барча 
1
< г <
лар учун 
а 1} =
 
0
шарт-
ни қаноатлантирсин. У ҳолда, (3.4) фэрмуладан кўринадики, улар-
га мэс бўлган 
элементлар ҳам нолга айланади. Шунинг учун
ҳам, 
Т
матрицанинг кўриниши 
А
матрицанинг ўнг ярмидек, яъни
16- чизмадагидек бўлади.
Ноль элементлар устида амал бажармасак, у ҳолда ҳисоблаш
ишлари фақат тззлашибгина қолмасдан, балки ечиладиган масала-
нинг тартиоици орттириш ҳам мумкин.
Соддалик учун симметрик матрнцага эга бўлган қуйидаги:
1
2.
а
:4 — 
Зх2
*4 
11,
—
Зх\ 
Бх%
— 
х 3 +
2 х ,
 
=
—
б,
4х
1
— 
4- 
-|- 
Зх^
== 1,
Х \
4 -
2
х
2
- |- З ^ з 4 -
2 Х \
=» 1
системани кватрат илдизлар методи билан ечайлик.
Е 
ч и ш. Системанинг йу коэффициентлари ва 6; озод ҳадларини 12- 
жатвалнинг 
А
қисмига жойлаштириб, 2 устунни ҳисоблаб чиқамиз. 
( 3. 7) в а
(3.5) формулалар ёрдамида кетма-кет 
элементларни ва янги озодҳад 
лар- 
ни ҳисоблаб, жадвалнинг 
А\
қисмини тўлдирамиз. Контрол учун ҳар гал 2
устунни ҳисоблаб турамиз. Масалан, <34 ва у3 қуйидагича топилади:
,
а и - 1
\
3 — 2 , 8 2 8 4 3 - 0 , 7 0 7 1 1 - 7 , 0 7 1 3 8 - 4 , 9 4 9 9 5
.................
**
“ --------- £ ---------- = -------------------
тШз1
------------------- = 4>50363/-
. 
»з -
*
1
зУа — *здУа 
1 - 2 ,8 2 8 4 3 -7 ,7 7 8 1 9 - 7 ,0 7 1 3 8 -3 0 ,4 0 6 9 1
...................
Ш
' = ~ ---------- !------Ҳ
550
Ш
: 
«= 
28
,
61122
/,
12- жадвал
а п
а 12
“(3
“м
У1
2
схема қисмлари
2
—3
4
1
11
15
—3
5
—1
2
—6
—3
А
; 
4
— 1
1
3
1
8
1
2
3
2
1
9
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

д авом и
‘и
г12
■
*М
У/
ъ
1 ,4 1 4 2 1
— 2 ,1 2 1 3 3
0 ,7 0 7 0 8
2 ,8 2 8 4 3
7 ,0 7 1 3 8
7 ,5 5 0 1 3
0 ,7 0 7 1 1
4 ,9 4 9 9 5
4 ,5 0 3 6 3 /
1 ,6 4 9 0 4 /
7 ,7 7 8 1 9
3 0 ,4 0 6 9 1
2 8 ,6 1 1 2
21
4 ,9 4 7 1 8
1 0 ,6 0 6 6 1
4 3 ,1 3 5 3 8
4 0 ,6 6 5 0 4 /
6 ,5 9 6 2 2
1
А,
2 ,9 9 9 5 8
3 ,9 9 9 7 0
1 ,9 9 9 7 5
2 ,9 9 9 8 0
2 ,0 0 0 0 2
3 ,0 0 0 0 4
3 .0 0 0 0 4
4 .0 0 0 0 4
XI
~ 1
а
2
Жадвалдаги ечимни вергулдан кейин уч хонасигача яхлитла-5 олсак, 
қуйидагига зга бўламиз:
х г
= 3 ,0 0 0 ; 
х 2 =
2 ,0 0 0 ; 
х 3
= 2 ,0 0 0 ; 
э ҳ
—
3 ,0000.
Бу зса аниқ ечимни беради.
4- §. АЙЛАНТИРИШЛАР МЕТОДИ
Аналитик геометриядан маълумки, текисликда Декарт коорди-
наталар системасини ўқлар атрофида <р бурчакка айлантириш ушоу
С О З ф
— 51Пф
3 1 П ф
С О З ф . 
.
матрица орқали бажарилади. Айлантиришдан фойдаланиб, чизиқли
алгебраик тенгламалар системасини ечиш мумкин. Бунинг учуи
ортогонал матрицанинг хусусий ҳоли бўлган ушэу
Ти-
I
созср
8 1 П ф
(0
- 31Пф 
С О Зф
(>)
(0
00
элементар айлантириш матрицасидан 
фойдаланамиз. Бу матрица
бирлик матрицадан фақатгина 
I-
ва /- сатр ҳамда шу номерли
устунларнинг кесишган жойларидаги тўртта элементлари билангина
фарқ қилади.
Равшанки, А = [а « ] матрицани чапдан 
Т и
га кўпайтирсак, Л
матрицанинг фақат 
I-
ва / - сатрлари ўзгаради, чунончи А*1) =
=
Т цА
матрица учун
а\Р
 = а^созф — а/г$
1
Пф, 
^  
а}Р —
 а г/51Пф +
ад
 созф 
’
ларга эга бўламиз.
(4.1)
9®
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Шунга ўхшаш 
А
=
\аи \
матрицани 
Тц
га ўнгдан кўпайтирсак,
унинг фақатгцна 
I-
ва у- устунларигина ушбу формулалар
=
а н С 0 5 ф
+
ак]
 
5 1 П ф ,
—ак]
 51Пф +
ак]со&<$
■
( к =
 
1
 ,я)
(4.2)
бўйича ўзгаради холос. 
^
Равшанки, агар 
а и
ёки 
а п
элементлар нолдан фарқли бўлса,
у ҳолда шундай 
ф
н и
топиш мумкинки, натижада 
а\\> =
 
0
бўлсин.
Бунинг учун
5 1 П ф =
—
аЦ
/
йи +
а2
ц
С 0 5 ф =
/
аи
+
(4.3)
каби олиш керак. Бу ҳолда
{ 
а (и \ =
 /
а2и + а2
п
>
0
,
и / = о
(4.4)
бўлади. Демак, ф ни танлаш эвазига кўпайтма матрицанинг ихти>
ёрий элементини нолга айлантириш мумкин. Бунинг учун қуйида-
ги теореманинг ўринли эканлигини кўрсатиш кифоядир.
1-т еор ем а. Ихтиёрий ҳақиқий махсусмас 
А = [ а м \
матрицани
чапдан кетма-кет элементар айлантириш матрицаларига кўпайти-
риш билан уни диагонал элементларининг охиргисидан бошқалари
мусбат бўлган ўнг учбурчак матрицага келтириш мумкин.
Исбот. 
Фараз қилайлик,
~ап
а
 
12
•
• «
1
в
А =
«21
а п
• • • 
а 2п
(4.5)
_ап
 
1
аП1
• • • 
апп\
махсусмас ҳақиқий матрица бўлсин.
Аввал 
ап
+ 0 деб ҳисоблаймиз. 
А
матрицани кетма-кет Г 12,
Г 18, . . . , 
ТГп
ларга кўпайтирамиз. Бу матрицаларни шундай тан-
лаб оламизки, биринчи устуннинг энг юқэридаги элементидан
бошқа ҳамма элементлари нолга айлансин. 
•
Агарда 
а и = 0
бўлса, у ҳолда алмаштиришни 
Т1]0
га кўпай-
* тиришдан бошлаймиз, бу ерда у
0
 
а^-Ф
 
0
шартни қаноатлантиради-
ган номерларнияг энг кичиги. Матрица махсусмас бўлганлиги
учун биринчи устуннинг камида битта элементи нолдан фарқди-
• '"дир, демак, шундай у
0
номер топилади.
Юқоридаги алмаштиришларни бажариш натижасида
А ^ = Ти Ти
 
.
• 
Т пА =
0
а<
1
>
“ 12
•
а<>>
.
- 
а 1пЛ
• < >
0
■
. а (1)
* 
пп
матрицага келамиз ва бунда аўў >
0
.
1 0 0
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Бу ерда -А(1) матрица махсусмас бўлганлиги учун а (1>, 
. .
. ,аО)
нлементларнинг камида бирортаси нолдан флрқлидир. Энди элем ен-'
тар айлантириш матрицалари Т 23, Т24, 
. . ■
, 
Т2п
ни шундай тан-
лаб оламизки, буларга кетма-кет кўпайтириш натижасида А <2>
матрицада иккинчи устунининг диагонал остидаги барча злемент-
лари нолга айлансин. Шу жараённи давом эттириб, ниҳоят
А^~Х)
= Т „ _
1
.Я •
. 
т
12
л
(п- 2) =
Г а п -1)
0
“ 12
 
•
а (/!_1)
“ 22
 
■
•• « Г 11!
• • 
< - 1)
(4.6)
0
0
< п - г)
матрицага келамиз. Шу билан теореманинг исботи нич;оясига етди.
Шуни ҳам таъкидлаб ўтиш керакки, А (/'_1) ни ҳосил қилиш
учун матрицаларни кўпайтиришлар сони диагонал остидаги эле-
ментларнинг сони 
- ^ —Л .
дан ортмайди.
Бу теоремадан шундай натижа келиб чиқади.
Н атиж а. Ихтиёрий махсусмас ҳақиқий матрицани ортогонал
ва ўнг учбурчак матрицаларнинг кўпайтмаси шаклнда тасвирлаш
мумкин.
Ҳақиқатан ҳам, (4.5) тенгликдан 
А = РА^п~1\
бу ерда 
Р =
=
{Тп_
1
п . . .
Т
12) -1
ортогонал матрицадир.
И сбот қилинган теоремани 
А х = Ь
тенгламани ечишга қўллай-
миз. (
4
.
5
) тенгликдан кўрамизки, бу тенглама
А (п~Х)х = с
тенгламага тенг кучлидир, бу ерда с = Тя_ 1л . . . Т 12&. (4.6) сис-
тема учбурчакли система бўлганлиги учун, уни ечиш қийин эмас.
Номаълумларни йўқотишни
и.
1
С
0 5
ср 
* » *
СФ
~е
6
 
• * *
1
_
0 )
( в )
I
кўринишдаги унитар матрицалар ёрдамида ҳам бажариш мумкин.
Ҳақиқатан ҳам, агар 
А
— ихтиёрий махсусмас комплжс мат-
рица бўлса, у ҳолда уни чапдан 
Р и(ц>,<Ъ)
га кўпайтириб, янги 
В
матрицани ҳосил қилзмизки, унинг 
I-
ва у- сатр элементлзри
Ь1р = а1рс о ^ - а ]ре1Ч \т
(р = Г ¥ ) 
(4.7)
Ь1р = а1ре~1'^5\пц>
 +
а
 ^созср 
^ 
’
101
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

•формулалар билан аниқланиб, қолган элементлари 
А
матрицанинг
мос элементлари билан устма-уст тушади. Агар биз 
В
матрица*
нинг 
Ь]3
элементларини нолга айлантирмоқчи бўлсак (бу эса у-
тенгламадан 
А х
 =
ВиЬ
амал ёрдамида 
х 3
ни йўқотиш билан
тенг кучлидир), у ҳолда (4.7) формулаларда
/
1
«(
5|2
 + К +
>
0
бўлса, 
р =
ф = аг£а^ — агдо^
^
 
5
бўлганда,
СОЗф =
V
4“ 
\а
У 
4~ К
|3
деб олиш керак. Акс ҳолда 
с о з ф
=
1
, 
31
Пф =
0
каби олиш керак.
К ;(
ф
, 
ф) матрицанинг бу хоссаси қуйидаги теоремани исбот-
лашга имкон беради.
2- 
теорем а. Ҳар қандай