Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

э л е м е н т и н о л д а н ф а р қ л и д е б ф а р а »
қ и л а м и з . У в а қ т д а Д а н и л е в с к и й м е т о д и д а г и и к к и н ч и қ а д а м б и р и н -
ч и қ а д а м г а ў х ш а ш б ў л и б ,
А'
 
м а т р и ц а н и н г
(п
— 2 ) -с а т р и н и
Ф р о
б е н и у с ф о р м а с и г а к е л т и р и ш д а н и б о р а т д и р . Б у а л м а ш т и р и ш л а р н а т и -
ж а с и н и қ у й и д а г и ч а ё з и ш м у м к и н :
л (2) =
м
~12
а
{1) 
м п_
, 
=
м
;12
 
лг
л_ 2 =
| - Д 2>
„ (
2)
Й1, л - 2
Д 2>
« 1 . л—1
а{2>
2
, 
1
л <
2
) 
„ (
2
) 
„(
2
)
2, л —1 а я - 2, л—1 # л —2» л
Б у е р д а
• • • •
1
0
0
1
0
0
0
0
1
. . .
0
0
0
0
0
. . .
0
0
0
0
Л<1)
1
<2л
—1
, л —3
1
/ » (1>
# л —1, л —1
„ ( I )
<^л—1, л
# л —1, л —2
# л —1 , п —2
# л —1 , л —2
# л —1, л —2
& л —1, л —2
0
. . .
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1 7 0
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

м ~ 1 2
 =
1
0
. 
. . .
0
о
“1
0
1
 
. 
. . .
0
0
- (
1
)
„(
1
)
„(
1
)
а п-
1.2
О-п
—
1,2
 
) • 
•
^71 — 
1
, 
п—1
ип—1, п
0
0
 
. . .
1
0
0
0
 
" . . .
0
1
Бундан ташқари
Ь\}>
 =
ац'
м\ 
а
п—1
, / 
, ,
■—
Ш.п
~ 2
■
 
ДГ> 
( / ■ =
1, 
« ;
7 =#=л 
—
2),
.“ ■ л— 1 , л — 2
„ (
2
)
.
( 2) 
(2 ) 
л
—2
 — л(
1
) . 
’
0
« -!. п 
—2
ь 1 } > у = 1 , п - з ) ,
„( 
2
) .
й - л - 2 , /
V
л (0
 
лО)
Д/ ‘ Лл —
1
, А 
'
А
=1
Б у жараённи давом эттирамиз. Агар а„, „_]=А0, 
а („%,
 
„_2
=АО,
. . . . , а (
2
?-2> 
=/=
 0 бўлса, у ҳолда Данилевский методининг 
(п—
 1)-
қадамидан кейин қуйидагига эга бўламиз:
а
<
-
п
~1)= м г 1
... 
Мп1\АМп_ х
. • .
м х= з ~ '
„(п-!)
а Х\ 
ац
 
.
1
 
0
 
. .
• аГ я Л
а[п~1)~
. 
0
 
0
Р\ Р^
• •
1 0
. .
• • 
Р„. \ Рп
. . 
0
 
0
о
о
I
. 
1
 
0
 
_
I
-----
о
о
'
• о
Ш ундай қилиб, дастлабки 
А
матрица 
8 = М п_ х М п_ 2
... 
М х
глат-
рица орқали ўхшаш алмаштириш ёрдамида Фробениус нормал фор-
масига келтирилади ва шу билан хос кўпҳад
р
 (X) = X" — 
Рх
 X"-1 . . . . — 
рп
топилади. 
.
Данилевский методидаги норегуляр ҳол. Энди норегуляр
ҳолни кўриб , чиқайлик. Фараз қилайлик, Данилевский методининг
{п
 — /Ь)-қадами бажарилсин ва шу билан бирга 
А (п~к)
матрица-
нинг 
а^кЛ
- 1
элементи нолга тенг бўлсин. Навбатдаги 
(п
 — 
к
 +
1
)-
қадамни юқоридаги усул билан бажариш мумкин эмас. Бу ерда
икки вариант бўлиши мумкин. 
,
1) Фаразқилайлик, 
А(п~к)
матрицада 
а[п,~кк
1х
элсментдан чапроқда,
масалан, 
и
элемент ( г '< й — 1) 
а[п
Г к) */=
 0 бўлсин. Бундай вақтда
норегуляр ҳолни регуляр ҳолга келтириш мумкин. Бунинг учун
А{п~к)
матрицада 
(к
 — 1)- устунни 
I-
устун билан ва худди шу
номерли сатрларни ҳам ўзаро алмаштириш керак. Бундай алмаш-
тиришни қуйидаги кўринишда ёзиш мумкинлигини бевосита тек-
шириб кўриш мумкин:
и Л <п-к) Ц'
171
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

б у ерда
£/ =
1
( к - \ )
• 
1
0
 
.
0
1
 
.
‘ 
‘ 1
 
’
.......................
0
. .
. . 
1
. .
(0
.......................
1
. .
. . 
0
. .
( к -
• 
1
•
1
* 
1
 
0
—
0
 
1
&А(п
' 
II
алмаштириш 
А1п к)
матрица учун ўхшаш алмаштириш-
дир. Ҳақиқатан ҳам, бу алмаштиришни икки марта бажарсак, ав*
валги матрицага келамиз, демак 
I I ’*
=
Е ,
яъни 
I I
=
1 1 ~ ' .
Бундан
11А<
‘п
} 
и
=
V
1 
А<п к) Ц
ўхшаш алмаштириш эканлиги келиб
чиқади.
Бу алмаштиришдан кейин Данилевский методидаги кейинги қа-
дамни регуляр ҳолдагидек бажаришимиз мумкин.
2)
Фараз қилайлик,
— 
иЬ2
 
— . . . =
йк,к —
 1
=
0
бўлсин. У ҳолда 
А <п к)
қуйидаги кўринишга эга бўлади:
~
/,(«-*) 
#11
(л—А) 
• . #1, 
к
- 1
\ а [ 1 ~ к)
.
а [ п
п~ к) ~
(п—к)
й>к-
1,1 .
Л*~к)
• . 
й к - \ ,
£—1 ! 4 л-!% .
„ (" -* )
,. 
йк—\,п — а {п-1 к)п
о
. 
.
. 
0
1 «<«-*)
| 
йкк
• • л (п-* )
• 
п—1
п (п~к)
йкп
0
. 
.
. 
0
1 1 . . .
1
0
0
_0 
. 
.
. 
0
1 
о . . .
1
0
_
р ( п - к )
0
£.(
п-к)
р ( п —к)
Б у ерда 
Р <п
^Ф робениус нсрмал формасига эга бўлган 
(п—
А +1)«
тартибли квадрат матрица, 
В(п~к)
эса 
(к
— 1)-тартибли квадрат
матрица. Лаплас теоремасига кўра:
йе! (
А (п~к)
-
ХЕ)
 = с!е1 
(В{п~к)
-
ХЕк_ х)
 йе! 
(Р{п~к)—\Ея_к+,),
 
(4.1)
яъни 
Р (п к)
матрицанинг хос кўпҳади Л матрица хос кўпҳадининг
бўлувчисидир. (4.1) тенгликдан кўрамизки, Л матрицанинг хос
кўпҳадини топиш учун яна 
В (п~к)
матрицанинг хос кўпҳадини то-
172
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

111
Ш
1
керак. Буни зса юқорида келтирилган метод билан бажариш
мумкин. Данилевский методи хос кўпҳадни топиш методлари ора-
сида энг тежамкор метоДДир. Ҳисоблаш жараёнини контроль қилиш
учун топилган /ҳ козффициентни матрицанинг изи билан таққос-
лаш керак.
Данилевский методи билан хос векторни ҳисоблаш. Агар
А
матрицанинг хос сонлари маълум бўлса, А. 
М .
Данилевский
методи билан унинг хос векторларини аниқлаш мумкин. Фараз
қплайлик, X 
А
матрицанинг ва демак, унга ўхшаш бўлган 
Р
Фро-
оеииус матрицасининг хос сони бўлсин.
Р
матрицанинг берилган X хос сонига тегишли бўлган 
у
 =
= 
(У
1
, у2, . 
. • , 
УпУ
хос векторини топамиз. 
Р у
= Х у бўлганли-
ги учун (Р — Х £ ) у = 0 ёки
Г Р 1 —
х
Р2 ■• " " 
Р п —
1
р
Л
Г
1
1
— 
X 
. . . . 0
0
у 2
0
0
" — X
0
1
0
0 . . . . 
1
— х 
А
Ь 
У п
-1
Бундан эса 
у
хос векторнинг у 1( у 2, . . .
у п
координаталарини то-
пиш учун қуйидаги чизиқли алгебраик тенгламалар системасига
эга бўламиз:
(Р
1
~ У
1
+ Р
2
У
2
+ • • • + Р л>’л =
0
.
У х
—
 Ху
2
 
= 0 ,
Уъ
 
^ У з 
^ 0 ,
Ул
- 1
— ХУя = 0
Бу системадан
У „-
1
= ХУл.
У
„-2
= **УП.
(4.2)
У
1
= ^ _
1
У
л
ни топамиз. Хос вектор хоссасига кўра 
у п
 =
1
деб олишимиз мум-
кин, у ҳолда 
'
У
1
 — 
1
.
У
п -
1 = Х ,
У „ - 2 = ^ ,
( 4 .3 )
( У ) =Х«- > 
^
га эга бўламиз. Демак, изланаётган хос вектор у = (Х*- 1 , X"- *,
. . . , 1) кўринишга эга. (4.3) ни (4.2) системанинг биринчи тенг-
ламасига олиб бориб қўйсак, у
Р
( X )
* = \ п — р х
Х
*- 1
------- — р„ 
=
0
173
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

кўринишга эга бўлади, бу эса ҳисоблаш жараёнини контрол қи-
лишга хизмат қилади. Ўхшаш алмаштириш матрицаси 5 маълум
бўлса, 
А
матрицанинг хос векторини топиш қийин эмас. Ҳақиқа-
тан ҳам, агар л: 
А
матрицанинг X хос сонига мос келадиган хос
вектори бўлса, у ҳолдах: = 5 у бўлади, чунки Я у = Ху ва 
Р =
= 5 -
1
Л 5 бўлганлиги учун 5 -
1
Л 5 у = Ху дир. Бу тенгликнинг
ҳар иккала томонини 5 га чапдан кўпайтирсак, Л 5 у = Х 5 у келиб
чиқади.
Ш ундай қилиб, 5 матрица маълум бўлса, 
А
матрицанинг хос
векторини топиш қийин эмас. Данилевский методининг регуляр
ҳолида ва норегуляр ҳолининг биринчи вариантида 5 матрицани.
бевосита ёзиш мумкин. Масалан, регуляр ҳолда
8 = М п_г М
„_з . . . 
М х.
М х
( г =
1
, 
п —
 
1
) матрицалар бирлик матрицадан фақат битта
сатри билан фарқ қилганлиги учун
х = 5 ~ ў = М п_ хМ п_ и
. . .
М х~ў
 
(4.4)
векторни топаётганда аввал 5 == 
М п_ х М п_ 2
.... 
М х
 
кўпайтма-
ни топмасдан 
у 
векторни кетма-кет 
М %, М 2,
. . . , 
М„_х
матри-
цаларга кўпайтириш маъқулдир. Зэкторни 
М %
га кўпайтирилганда
векторнинг фақат битта координатаси ўзгаради.
Данилевский методидаги норегуляр ҳолнинг иккинчи вариантида
матрицанинг хос векторини бў йўл билан топиб бўлмайди. Бундай
ҳолда хос векторни Крилов методида кўрсатилган усул билан то-
пиш маъқулдир.
М и с о л. Қуйидаги
' 23 —9 —2 
0 '
__4 
23 
0 —2
г 
—8 
0 
23 —9
Г
 
қ
0 —8 —4 
23 -
матрицанинг хос сонлари ва хос векторлари топилсин.
Е ч и ш. А. М. Данилевский методи ёрдамида қуйидагиларни ҳосил қи- 
дамиз:
А (Х)= М 2 Х А М г =
'
- 1
0
0 0 ”
" 23 —9 —2
0 “
- 1
0
0
0“
0
1
0 0
—4
23
0 —2
0
1
0
0
0 —2
1 23
0
—8 —4 23
—8
■
0
23’ —9
— 4 4
_ 0
0
0 1_
_ 0 —8 —4
23 _
_ 0
0
0
1_
1
23 1
—23 —5
2
2
=
—4
23
0
— 2
64
0
46 -4 7 7
0
0
1
0
•
www.ziyouz.com kutubxonasi

---