Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

ўлчовли фазода 
п
тадан ортиқ
чизиқли эркли вектор бўлиши мумкин эмас. Шунинг учун
с
, 
А с
 , 
А 2 с
, . . . , 
А п с
 
(2.1)
векторлар орасида чизиқли боғланиш мавжуддир. Ҳаттоки, ихтиё-
рий 
с
вектор учун ҳам
ср(Л)ё =
0
 
' 
(
2
.
2
)
чизиқли боғланиш мавжуд. Демак, 
А
матрицанинг ср(Х) минимал
кўпҳадининг даражаси 
п
дан кичик бўлса, (
2
.
1
) системада чизиқли
эркли векторларнинг сони 
п
дан кичикдир. Берилган 
с
вектор учун
ф( Л) с = 0 
(2.3)
тенгликни қаноатлантирадиган ф (X) кўпҳадлар орасида бош коэф-
фициенти бирга тенг бўлган энг кичик даражали ягона <рс(),) кўп-
ҳад мавжудки, унииг учун
ср 
-с
(X) 
С
 
= 0
тенглик ўринли бўлади. Бундай кўпҳад 
с векторнанг минимал
кўпҳади
дейилади ва у (2.3) теигликни қаноатлантирувчи ф (X)
кўпҳаднинг бўлувчиси бўлади. Хусусий ҳолда, ихтиёрий 
с
 вектор-
нинг минимал кўпҳади ср_(Х) 
А
матрица минимал кўпҳади -р (X) нинг
бўлувчиси бўлади. Агар (2.1) системада 
с,
 Л с , Л
2
с , . . .
, А т~1с
векторлар чизиқли эркли бўлиб, 
А т с
уларга чизиқли боғлиқ бўл-
са,
Л т с = <
7
т с +
Цт-\
Л с 
+ . . . + Ат~'с,
у ҳолда
. . . — 
9т-\
 ^ — 
9т =
 
0
кўпҳад 
А
матрицанинг минимал кўпҳади <р(Х) га ёки унинг бў-
лувчиси 
9
_ (X) га тенг.
Минимал к ўп ҳадн и топиш . Энди А. Н. Крилов методини
кўриб чиқамиз. Ихтиёрий нолдан фарқли 
с (й) 
= ( с 01сй2
. . .
, с0п)'
векторни олиб,
С11) =
А 
с « - 1)
 =
(сп 
, с 12
........
с1пу 
(I
= Т7я) 
(2.4)
векторлар кетма-кетлигики тузамиз. Юқорида айтганимиздек, бу
векторлар орасида
91
 
с (я_1) +
2
с
(л_2) + . . . +
дп~с
 
(0)=
с(п)
 
(2.5)
157
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

чизиқли комбинапия мавжуддир. Агар буни координаталарда 
ёзиб 
олсак, 
, <
7
2 , . . . 
,д„
ларни тогиш учун қуйидаги чизиқли алге-
браик тенгламалар системасига эга бўламиз:
С п -
1 . 1 +
< ? 2
С п -
2 . 1 +
• • • 
+
<
? «
+
! =
С п и  
+
С п -
1 . 2 +
^ 2
С п -
2 , 2 “
'
- • 
+
Ч п С 02
=
С п 2 ’
+
С п — \, п
+
+ _ 2 , л ~ Г
• • • 
- Г
Ч п С 0п 
С п п '
Б у системакинг детерминанти
с л —1, 1 * * * * С01
+ - 1 , 
п
• • • • + !
(
2
.
6
)
фақат с " 
, . . . , 
с
* векторлар чизиқли эркли бўлганда-
гина нолдан фарқлидир, чунки бу детерминантнинг устунлари шу
векторлар координаталаридан тузилган.
Агар Гаусс методининг тўғри юришидаги барча 
п
қадам б жа-
рилиб, (
2
.
6
) система қуйидаги
<71 + ^12 9г + + з <7з + • • • +
Ь2п Чп
 =
^2
Чп = а п
(2.7)
учбурчак шаклга келтирилса, у ҳолда Д 
Ф
 0 бўлиб, с <0), Ф(1), . . . ,
с (п_1) вектор.тар чизиқли эрклидир. У вақтда (2.7) системадан қа-
ралаётган комбинациянинг коэффициентлари
. . . ,
тог.а оламиз.
Агар Гаусс методидаги тўгри юришнинг фақат 
т
та қадами
бажарилса, у ҳолда фақат аввалги т та с<0), с (1), . . . , 
с'т~Х)
век-
торлар чизиқли эркли бўлади. Керакли
<
7
, 
с
(т
‘1) + д , с т :
<7 
т С
(
0
)
~(т )
чизиқли комбинацияни ксординаталарда ёзиб оламиз:
< 7 + т - 1 ,1 +
ЧгСт ^ 2 . \
+
. . . + <7//+01 = С/л1.
1
< ? т -
1,2
+
Ч ч С т -4 ,4
+
. . . + 9 /+ 0 2 =
Ст2,
( 2 8 )
Ч \ с т - \ ,п
+
ЧчСт - 2 , п
+
. . • + <7
тс 0п ~ Ст п .
Бу системадан Га)сс методи ёрдамида 
т
та чизиқли эркли тенг-
ламаларни ажратиб олиб, 
дтг
 
, . . . , < ? , коэффициентларни
топамиз.
Шундай қилиб, биз 
т — п
бўлганда 
А
матрицанинг хос кўп-
ҳадини ва 
т < п
бўлганда унинг бўлувчисини топишимиз мумкин.
Аввал 
т = п
бўлган ҳолни кўрайлик. Бу ҳолда (2.5) чизиқли
комбинациянинг 

Р
(X) = * X* —
р , \ п ~ \
— . . . —
р п
158
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

х о с кўпҳаднинг мос равишда 
ри ръ . .
. , 
рп
коэффициентларига
тенг:
<
7
* = Р ( (/ =
1
, 
2
, 
, 
п).
Ҳақиқатан ҳам, Гамильтон-Кели теоремасига кўра
Р(А) ~ А п —
 р.Л
'1- 1
 
— . . . — раЕ =
 0.
Б у тенгликни с<0) векторга кўпайтириб ва
Л'с<о)==с(« ( / = 1 , 2 ............ л)
ларни ҳисобга олиб,
р ^ " - 1) 
р
2
с<,,- 2) 
р+<0) = с<п)
га эга бўламиз. Бу тенгликни (2.5) дан айириб,
< + - р ]) > - 1, + ( ^ - Р 2) > " 2)+ • • •
+ ( Ч п - Р п й {0) =
0 
(2-9)
ни ҳосил қиламиз.
с<0), с(1), . . . , с<п-1) векторлар чизиқли эркли бўлганлиги'учун
(
2
.
9
) тенглик фақат рг =
? 4
( / =
1
, 
2
, . . . , д) бўлгандагина ба-
жарилади.
Демак, /п = п бўлганда қурилган чизиқли комбинациянинг
кўринишига қараб, 
А
матрицанинг 
Р
(X) хос кўпҳадини - ёзиш
мумкпн. 
Я(Х) = 0 тенгламани ечиб матрицанинг барча хос сон-
ларини топамиз. Агар 
т < . п
бўлса, қурилган чизиқли комбинация
^Д™-1 ) + <
72
с<т-2) + . . . + <
7
тс<0) = с<т) 
(
2
.
10
)
кўринишга эга бўлади. Энди + > = Л'с<0) 
( / = 1 , 2, . . . , 
т)
ларни ҳисобга олиб (
2
.
10
) тенгликни
(Ат
— 
цхА т~{
— <
72
А
т - 2
 — . . . — 
ЦтЕ.)с{м
 = 0
ёки
ф -(
0
)(А)с<0) =
0
кўринишда ёзиб оламиз. Б у ерда
фг <0)(>.) = Л т —
ц + т ~ х
— <
7 2
^ш- 2 — • • • —
Я т -
Демак, изланаётган комбинациянинг коэффициентлари 
д2, . • • , рт
с<0) векторнинг минимал кўпҳади ф г(0) (X) нинг коэффиииентлари-
дир. Бундай кўпҳад с<0), с
ли бўлганлиги учун ягонадир.
Шундай қилиб, 
т
 <
п
бўлганда биз Я(Х) нинг ф- (0) (X) бўлув-
чисини топамиз ва фс (о>Х = 0 тенгламани ечиб, матрицанинг бир
қисм хос сонларини топамиз. Дастлабки с(0) 
векторни бошқача
танлаб,
қолган хос сонларни ҳам топиш мумкин. Шу билан бир-
га янги танланган вектор олдин аниқланган векторларнинг чизиқ-
ли комбинацияси бўлмаслиги керак.
Матрицанинг хос векторларини топиш. 
Энди хос вектор-
ларни топиш масаласига ўт миз. Фараз қилайлик, X,
%
(
0
) 
(*0 =
-
Ч + т ~ 1 ~
 
т ~ 2 - • • • 
~ Ч т
159
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

минимал кўпҳаднинг илдизи бўлсин (кейинги мулоҳазалар 
т — п
ва 
т < п
ҳолл_ар учун бир хил). 
А
матрицанинг 
Ц хос
сонига
мос келадиган’ 
х (1) хос
векторини олдинги пунктда топилган с<°>
с (1), . . . , 
с(т~1)
векторларнинг чизиқли комбинацияси шаклида
шлаймиз:
*<0 = ра ё«» + (3
12
с П ) + . . 
. + ? шс(т-
1). 
(2.11)
Бу тенгликни 
А
га кўпайтириб ва с (),= Л с < Н ) ҳамда 
А х (‘> =
=
)чх (1)
тенгликларни ҳисобга олиб,
\
(Рг^(0) + 
+ . . . + Ргтс(т-1>) =
= Рпё(1) + Рг
2
с(2) + . . . + р/т с(т ) 
(
2
.
12
)
га эга бўламиз. Бундан та шқари, яна
ф г(о) (Л )с(°) = с(т > — 
цхс(т~х) — ц2с(т~2)—
. . . — 
0
т с(О> = О
ни ҳисобга олсак, у ҳолда (
2
.
12
) ни
Ч № 0)
+ ( ^ (1) + • • • +
=
-
= Рцё(1> + Р/2С(2) + . . . + р|)т_^(—1> + _
+
+ ?
2
с(т - 2) + . . • +
цт-х ~с(1)
+
дтс(0))
ёки
(хгРп — Рг А )с(0) + (хгР/а - рп — р/т?т-
1
)с(1) +
+ . . . + (^Р
/ 1 т - 1
— Рг.от-2 — Ў
2
% т ) с<т~ 2)
+
+ (хгРг« - Р/.*-1 -
М
?(т~1) == о
кўринишда ёзиб олишимиз мумкин. Бундан с (0), с(1), . . . .
с <
'т~1)
векторларнинг чизиқли эрклилигини ҳисобга олсак,
Х/Рц — 
$1тЧт
= 0, 
хгРгг Рл 
$ ш Я т - \ ~
0,
Р/.Ш-2 
$1тЯ
2 —0>
хгРгт Рг.ш-г Рг
т # 1
= 0
тенгликлар келиб чиқади. Охирги тенгликдан бошлаб, кетма-кет
Ргй ларни топамиз:
Рг.от
- 1
= (хг 
Я\)
 
Рг/л>
Рг.т—
2 == 
{ Ц
Я \
^г <7з)Ргт>
Ргг = ( ^ 1 -
д ^ ? - 2 - . . . ~ Я т
- 1
)Рг«,
( ^ - ^ Г 1 - . . . - ^ ) Р г т =
0
.
О х и р г и т е н г л и к б а р ч а р/ т л а р у ч у н ў р и н л и д и р , ч у н к и
Ф г (хг) = + —
1
>+ ' 1 — • • . —
Чт
= 0 .
160
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Г>у тенгликдан ҳисоблашни контрол қилиш учун фойдаланиш
мумкин. Ҳисоблашни соддалаштириш мақсадида 
= 1 деб олн-
шимиз мумкин. Унда қолганлари қуйидагича топилади:
=
1 
—
Ц
\ ,
■
Р;,т-2 =>■?—
— Ц ъ
0 ) т - 1
п ) т —
2
'
п
у п — ' ч 
Ч \ ' н
. .. — 
Ч т ~
1
.
Буларни ҳисоблашда Горнер схемасидан фойдаланиш маъқулдир.
Агар берилган ^ хос сонга 
А
матрицанинг бир неча хос векто-
ри мос келса, у ҳолда уларни излаш учун бошқа дастлабки век~
торни танлаб олиб, шу ҳисоблаш жараёнини такрорлаш м)мкин.
1 - м и с о л . А. Н. Крилов методи билан қуйидаги
~ — 1
2
2
0~
2
1
3
2
А
=
2
— 1
2
3
0
2
1
— 2
матрицанииг характеристик кўпҳади тоаилсии.
Е ч и ш. Дастлабки с (0) вектор сифатида(1, 0, 0, 0)' ни олиб, с (1), 
с (2), с (3), с (4) ларни топамиз:
“ — 1
2
2
0
-
_
1
-
1
~
2
1 3
2
0
2
2
— 1 2
3
0
—
2
0
2
1
—
2
_ _
0
0
9 “
- З -
129
6
36
с (4) =
132
с (2) 
=
0
; (3) =
30
30
6
,
0
, 
■ 
^
102
Бу векторлар ёрдамида (2.6) системаии тузамиз:
3<71 +
9д$
— <7з +
= ( 29,
36<71 + 6 <72 + 2<7
з
 
= 132,
30з
 
= 30,
6
<
72