Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

> _
Б ( Х , - ? , ) + 1 -
3(Х/ — ?0 
3 ( Х / -? ,)
_•
= (
6
, 
3
, 
3
)', 
х<2> = (
21
, 
12
, 
12
)'
ни топамиз. Учинчи векторни топиш учун дастлабки векторни бошқача тан- 
лаш керак.
3- §. к. 
ЛАНЦОШ МЕТОДИ
Бу метод ҳам Крилов методига ўхшашдир. Фақат бу ерда хос
кўпҳад коэффициентларини аниқлайдиган вектор формада ёзилган
ушбу
+ + с ' " - г> + . . . + « . ? » > _ - с ' “>
системани ёки минимал кўпҳад коэффициентларини аниқлайдиган
+ ' - » + + ' - » + . . . +
™ _ с (” >
системани ечиш учун ортогоналлаштириш методи қўлланилади.
Х о с к ўп ҳадн и топиш . Ўзаро ортогонал бўлган векторлар
системаси кетма-кет қурилади. Берилган дастлабки в ек тор с(0) 
Ф
0
ва унинг итерацияси 
А с {0)
га кўра с<0) га 
ортогонал бўлган
(0) — 
§и,с
 <0> векторни қурамиз. Б у ҳар доим мумкин ва
(г(1), 
с(0))
=
0
ортогоналлик шарти 
£ 10
ни топишга имкон беради:
„ 
(Лс(0), 7(0>)
« 10
Агар с (1)= 0 бўлса, у ҳолда 
с(0)
ва 
А с (0)
векторлар ортогонал
бўлади ҳамда <3, (/-) == X — 
£ 10
кўпҳад 
А
матрица минимал кўп*
162
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ҳадининг бўлувчиси бўлиб, бу кўпҳаднинг_ илдизи X =
£ 10
матри-
цанинг хос сони бўлади. Бундан кейин с(0) устида бошқа амал
бажарилмайди._Агар с (1)=^0 бўлса, у ҳолда А с (1> векторни ту-
замиз ва с (0>, 
с(1)
ларга ортогонал бўлган
векторни қурамиз. Ушбу (с<2>, с (1)) = 0 ва (с<2), с(0)) = 0 ортого-
наллик шартлари 
ва 
£-20
ни топишга имкон беради:
(Лс^1*, С<])) 
(Дс*11, с<0))
ё п = т
7 11) '*
^ 2о== й<°>-,т<о)) '
Агар с<2) =
0
бўлса, у ҳолда
А
(Ас<0) — £
1
о
7<0)) — 
£ п (Ас(0>
 — ё-
20
с<0)) = 0
тенглик с<°>, 
Ас<0), А-с<0)
векторлар орасидаги чизиқли боғланиш-/
ни беради ва 
>
< ? и ( Х ) =
( X -
ё п )
(
*
-
£
2 0
) -
£ 2 0
=
(>■ -
Й Г и )
р !
М
—
кўпҳад эса 
А
матрица минимал кўпҳаднинг бўлувчиси бўлади.
Агар с<2)= £ 0 бўлса, у ҳолда бу жараён давом эттирилади.
Фараз қилайлик, с<0), с<]), . . . , с(т_1)_векторлар топилган бў-
либ, барча 
1 ф ] (I,
у' = о> 
т —Х)
учун 
(с<1),
с())) =
0
ортогонал-
лик шартини қаноатлантирсин. У ҳолда
С( т ) = А с < т - 1) 
§т,т—\ С<т~1) - &т,т-Ч С<т~2)-
- § т0о(0>,
(3.1)
векторни тузамиз ва 
£ т,т
- ь
ёт.т-
2
,
• • • , 
£ т0
коэффициентларни
шундай танлаймизки, бу вектор с<0), с(1), . . . , с<т - 1) векторлар-
нинг ҳар бири билан ортогонал бўлсин. Ортогоналлик шарти
(с<т), с<1))
=
0
(/ =
0
, 
т —
 
1
) дан 
коэффициентларни топамиз:
£т«
(Л?"1- 1), 7«>)
Сс<(>, ~с(1>)
(1 = 0, т—
 
1
).
Биз с<0), с(1), 
. . . .
с<т) векторларни қуриш билан бир пайтда
1
(х ) = ( х - ^ 0)
2
(Х) — (X — 
Я
2
оФо(Х)
Ст(Х) = (X— ^ т . т - Л С т - Д Х ^ ё т . т - Х ^ т - г ^ Х )
... Ял.оОо(Х)
кўпҳадлар кетма-кетлигини ҳам тузамиз. Маълумки, 
п
ўлчовли
фазода чизиқли эркли векторларнинг сони 
п
дан ортмайди. Ш у-
нинг учун ҳам, ортогоналлаштириш жараёнининг бирор 
к (к
<
п)- 
қадамда 
с<к)
 =
0
га эга бўламиз. У ҳолда
Ас<к- 0
— £ * ,* -
1
^ (* - 1)— 
ёк.к-
2
С<к~2)
 — . . . — £*
0

0
163
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

тенглик 
а с
<°\
ЛЬ
6
'(0), . . . , 
Акс(0)
векторларнинг чизиқли боғ-
ланганлигини 'кўрсатади. Шунинг учун ҳам Рй(Я) кўпҳад 
А
мат-
рица минимал кўпҳадининг бўлувчиси бўлади. Агар 
к = п
бўлса,
(
5
Л(Х) 
А
матрицанинг хос кўпҳади Р(Х) билан устма-уст тушади.
Агар 
бўлса, 
0 к(1)
кўпҳад хос кўпҳад 
Р(Х)
нинг бўлувчи-
си бўлади ва биз фақат хос сонларнинг бирор қисмини аниқлаш
имконига эга бўламиз. Қолган хос сонларни топиш учун ишни
яна бошқа дастлабки вектор с(0) иан бошлаш керак ва бу век-
торни шундай танлаш керакки, у с(0), 7 (1), . . . . с(&_1) векторлар-
га ортогонал бўлсин.
Симметрик 
А
матрица учун (3.1) тенглик соддалашади. Ҳақи-
қатан ҳам, бу ҳолда
= ( А Ғ ( т - 1), ~ ( ( ) ) 
_
( 7 ( т - 1\ А 7 (-!'>)
т1 
( с
(‘\ с
(,) ) 
(с
((), с (1))
( - ( т - 1 ) - ( г + 1 ) +
~ Ц )
+
„
7 (0))
( 7 1\ 7 С
бўлиб, 
I
 + 1 <
т
 — 1 бўлса, 
§ т1 =
 0 бўлади. Демак, матрица
симметрик бўлганда. (3.1) тенглик қуйидаги кўринишга эга б ў -
лади:
= Л ? т - ;) _
ёт.т- г? т- 1)- £ т,т- 2с
{т- 2). 
(3.2)
Ш у билан бирга
Ф тМ = (^ 
ёт.т-^г) (^т-1
(X) 
§ т,т- 1 ^ т-2(Ц
 — . . . — ^ГтоФо^)
кўпҳад ҳам соддалашади:
Р т М =
(}■
^ т . т - О ф т —1 (^) 
§ т ,т —
^ т —2 (^).
Б у эса методнинг ҳисоблаш схемасини соддалаштиради. Шунинг
учун ҳам Ланцош методининг симметрик матрица ҳоли одатда
минамал итерация методи
деб аталади.
Бундай соддалаштиришга симметрик бўлмаган матрица учун
ҳам эришиш мумкин, фақат бу ерда ортогоналлаштириш жараёни-
ни биортогоналланпгириш жараёни билан алмаштириш керак.
Иккита ц(0) ва &(0) дастлабки векторларни танлаб оламиз. Б у-
ларга кўра А с(0) ва Л 'й(0) ларни топиб,
. ;
с(1) =
Ас(0)
- Яюё(0), > > =
А гь(0) — \ 7 > ф)
чизиқли комбинацияларни_ тузамиз. Б у ерда 
£ 10
ва Л
10
коэффи-
циентларни (с(1), 
Ь(0)) —
(
6
(1), с (0)) = 0 биортогоналлик шартидан
танлаймиз. Агар дастлабки векторлар с(0) ва 
Ь(0)
ортогонал бўл-
маса, у ҳолда 
^ 10
ва Л
10
ни топиш мумкин:
|7(0)
'/. (
0
) 3'А (
0
)
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

I >и:! 
Ь ^ ) Ф
0
_шарт бажарилган деб фараз қиламиз. Топилган
пгкторлар 
с{1)
ва 
Ь11)
га кўра шундай
с<2> == 
Ас(1)
-
£ 2Х
с
М —
 £ ,
0
с«», 
Ъ 2)
=
А гь(1)
-
кп Ъ(1)
-
к2& 0)
чизиқли комбинацияларни тузамизки, натижада
( ? 2>, 
Ь<-1))
= (с<2>, 
Ъ 0 )
)
 = (Ь<2>, с<» ) = (Т<2>, ?°>) =
0
бўлсин. Агар (с<°>, 
Ь(0)) ^ 0
ва (£<*>, &<’>)^=0 бўлса, у ҳолда бу
шартлардан қуйидагиларни ҳосил қиламиз:
(Х с1» , Т (1>) 
(Т (1>, 
а
' 1 { 1 ) )
.
ё 2 1 ~ Сс{1),
*(1)) — й (1), 1(1) ) ~ 211 
(ДТ111,1«») 
(Т*», Л'Т<°>)
^ 20
 
(Т<°>, Т<°>) 
(7<°>, Т<°>)
(с<1>, 
Ь{1)
+ /г10 й<°>) 
( с (1>, А(1>) 
(Л 
с
<°>— £ 10 
с
<°>, 
й
(1>)
(Т<°>, ғ<°>) 
(Т<°>, 1<°>) _
(Т<°>, 1<°>)
М7<°>Д(1>) 
(1^,.4'У0) 
.
“ (Т<°>, Т<°>) _ (Т<°>, Т<°>) “ 20‘
Фараз қилайлик, шундай
с<°>, 
с(1)
.............
7(к); Ь(0), Ь(1),
. . . 
Ъ к)
векторларни тузган бўлайликки, улар қуйидаги шартларни қаноат-
лантирсин:
1
) 
С с
£»>) =
0
 
(1ф]);
2) (Ь(1), с(1)) ^ 0
(1 =
 0 , 1 .............
п).
У ҳолда шундай
(<Ў*+1> =
А с^ — §к+
1
.кС
(к2
 — £к+\.к-~с(С 1)
— . . . —
ёк+\.й с(0\
(3.3) 
\ Ь\к+\)
=
А>Ь(к)
_
кк+1ЛЬ(к)
 
-
Л*+1.*_, 
*<*-!> - . . .
-
£ * + 1.оЛ<°>,
векторларни тузамизки, улар
(с<*+1>, Л«>) = (Л<*+1>, 
с
(1)) =
0
 
(/ == 
0
, 
к)
шартларни қаноатлантирсин. Бу шартлардан зса
(А~с(к), ~Ь(0) = ( с (к), А ’Ь (1))
_ (7<*>, Ғ « +1> +
й
,+ 
1
.Д « > )
£к+1'1
~
(Т«>, б«>) 
(‘с<‘'>, Т<‘>) 
— 
( с<‘>, Т<0)
(с<*>, г><‘+1>) 
. 
(с<*>, б«>)
(?«>,*«>) 
+ Л ' +1>' (с«>, Т«>)
'Л*+
1
,* , 
агар 
1 = к
 
бўлса,
(с(к), Ъ к)) 
.
. 
.
= . 
тТГ~ТТ = ^ + 1-* -1 ' агаР 
бУлса>
(с1*-11, 
Ь(к~х))
. 
0
, 
агар 
К к —
 
1
 
бўлса;
165
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

, 
( А ’ Ь(к \
с('>) 
(* (*>, 
А с ^ )
П к +
1
,
1
—
 
(- ( 0 ^
 
-
(~ ( 0 *«>) 
"
ё к +
1.1
 
. агаР 
г' = ^ 
бўлса,
&к+
1
,к
—1
» агаР 
1 = к
— 1 бўлса,
0
 
, агар 
1 < к
— 1
бўлса.
Шундай қилиб, (3.3) тенгликлар соддалашиб, қуйидаги кўриниш-
га келади:
С<*+0 == Лс(*> —
8
к +
1
, кС 1Л)
 
— #*+
1
,А
- 1
 ^ * - 1),
"й(*+
1
> = Л '
6
(*) — ^А+
1
, *3<*) 
— ёк+ик-Гь^-и.
Бу жараёнлар мумкин бўлишлиги учун олдинги топилган ~ (*> ва
&<*> векторлар (с<*), й<*)) 
++0
шартни қаноатлантиришлари керак.
Бу шарт қуйидаги уч ҳолда бузилиши мумкин:
1
) с<*> 
=_0
ва й^) = С^_
2
) с<*> =
0
ёки 
6
<*> =
0
,
3
) с<*)=Л=
0
, й<*> 
Ф
 
0
, лекин с<*> Л. й<*>.
Охирги ҳол с<°>, (><0) Дастлабки векторларни ноқулай танлаш на-
тижасида келиб чиқади. БунДай ҳолда, дастлабки векторларни
бошқача танлаш керак.
Агар А матрица минимал кўпҳадининг даражаси т бўлса, у
ҳолда 
(А
ва 
А'
матрицалар бир хил минимал кўпҳадга эга бўл-
ганликлари учун) с<0), Ас<0), . . . , А"‘с<0) ва 
6
<0), 
А'Ь^\
. . . , А""Т><<»
векторлар чизиқли боғланган бўлади. Шунинг учун ҳам биорто-
гоналлаштириш жараёни 
к
 <
т
қадамда тугайди ва с<*> =
0
ёки
&(*) = 0 векторга эга бўлиб, у ҳолда с<0), Ас<0), . . . , А ^ с ^ век-
торлар ёки £<0), 
А'Ь<°\
. . . .
А'<к>Ь(°}
векторлар орасида чизиқли
боғланишга эга бўламиз. Ортогоналлаштириш жараёнидагидек,
бу ерда ҳам А матрицанинг минимал кўпҳади ёки унинг бўлув-
чисини кетма-кет қуйидагича топамиз:
<2оМ = 1,