Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

кўпҳад қуйидаги кўринишга зга бўлади:
ь п(х0
+
й
) = / 0+
4
+ -
1
) ( < -
2
) 
г я ,
3 !
-/ з /2 ' г
+ • • • +
* ( * -
1
)
Ц - + - П
1
л,
п!
(9.2)
Бу формуланинг қолдиқ ҳади қуйидаги кўринишда бўлади:
н п(х) = (х — х 0) (х — х 0 — к) . . . (х — х 0 — пк)
(П
 +
1)1
* ( * - . ! ) . . . (* — 
п).
/ {п+1)(£)
( п +
 
1)1
(9.3)
(9.2) формула 
Ньютоннинг жадвал бошидаги
ёки 
олға интер-
поляцион формуласи
дейилади.
Энди (9.1) формулада интерполяциялаш тугунлари сифатида
л:0, 
х - и
. . . .
Х-п
тугунларни оламиз:
£»(*) 
= / ( * о ) + / ( * о . 
(X — х 0) + / ( х 0, 
х - и
Х - 2) 
(х—х 0) (х—
— 
х \)
+ • • • +
Л х о>
• • • > 
Х - п )
(х
 — я:0) . . . 
(х
 
а
:_(П_
1
)). (9.4)
Бўлинган айирмалар ўз аргументининг симметрик фуикцияси бўл*
ганлиги учун 
.
/ ( х 0, Х—1,
. . . > 
Х—к^ ^а/ ^Х—ь,
. . . , 
Х—1, Х0).
(9.4) формулада яна бўлинган айирмаларни чекли айирмалар билав
алмаштириб ва 
х = х 0-\- 1к
деб олиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
ь п(х0
 +
(к)
= /
0
+
/ 1 % I
+
/ 2
- х! Ц Л -
+
, 
т + г )
. . . [< + ( « - . ! ) }
“Г ' •’ л/2 
Л1 
*
+
(9.5)
15— 2105
2 2 5
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Б у ф о р м у л а н ш г қ о л д и қ ҳ а д и
нп+х / (п+1\Ч)
(л + 1)1
1(1
+ 1 . • • (/ + л)
кўринишда бўлади.
М и с о л. 26- жадвалда 
э ҳ т и м о л л а к и н т е г р а л и
Ф ( х )
=
Г 
Ш
нинг қийматлари берилган. Ньютоннинг интерполяцион формулалари ёрдами-
да Ф (0,64) ва Ф (1,45) лар ҳисоблансин.
2 6 - ж а д в а л
х
ф
ф1
ф»
0,5
0,5205
0 , 6
0,6039
0,7
0,6778
0 , 8
0,7421
0,9
0,7969
1 . 0
0,8427
1 , 1
0,8802
1 , 2
0,9103
1,3
0,9340
1,4
0,9523
1,5
0,9661
834
739
643
548
458
375
301
237
183
138
—95
—96
—95
—90
—83
—74
—64
—54
—43
фЭ
—
1 
1 
5
7
9
10 
10
9
Е ч и ш . 
х
0
сифатида жадвалдаги қийматларнинг 
х —
 0,64 га энг яқини-
ни, яъни 
х = 0 , 6
ни оламиз. Бу ерда 
Н
= 0,1 бўлгани учун
/ _
х
 — 
х
0
_ 0,64 — 0,6 
_
п л
Н
 
0,1 
'
г(9.2) да и = 3 деб олиб, бу қийматларни келтириб қўямиз: 
■
Ф (0,64) 
0,6039 + 0,4-0,0739 +
(—0,0096) +
+
0
,
4
(0
,4
 — 1) (0,4 — 2) .
0 , 0 0 0 1
= 0,63462.
о1
Жадвалдаги қиймати эса Ф (0,64) = 0,6346 ([50], 129 б. га қаранг).
Худди шунга ўхшаш, Ф (1,45) ни ҳисоблаш учун 
х
0
сифатида жадвал-
даги қиймаг 1,5 ни оламиз. 
У
ҳолда
1,45 — 1,5
0,1
—0,5
2 2 6
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Оўлиб, 
(9.5) формулага кўра:
Ф (1 ,4 5 ) ? 0,9661 + 0 ,0 1 3 8 (— 0 ,5 ) — 0 ,0 0 4 5 -
+ 0 ,0 0 0 9 •
— 0 ,5 ( — 0,5 4- 1) ( — 0 5 + 2 ) 
3!
— 0 , 5 ( — 0,5 + 1) , 
2
= 0 ,9 5 9 7 0 6 .
Жадвалдаги қиймат эса Ф (1,45) = 0,9597.
Энди қолдиқ ҳад тўғрисида бир оз тўхталиб ўтайлик. Айрим
ҳолларда, хусусаи /,• қийматлар тажриэа йўли билан ҳосил қи-
линган бўлса, / ( П+
1
) (Н) ни баҳолаш анча мушкул бўлади. Шу-
нинг учун қўпол бўлса ҳам, соддароқ йўл билан баҳолаш маъ-
қулдир. Қаралаётған оралиқда ҳосила /< п+
1
>(л:), демак, айирма
/[*+1
ҳам секин ўзгаради деб фараз қилиб, (9.3) формула билак
берилган қолдиқ ҳадда қатнашувчи ҳосилани (8.4) формула ёрда»
мида айирма билан аламаштирамиз, натижада
/( / — 1) . . .
( { — п )
(я~+Т)!
п
+ 1
/ п 
+ 1
2
(9.6)
ҳосил бўлади. Шунингдек (9.5) формула ўрнида,
рибий, лекин қулай формулага зга бўламиз:
п
^
{ ( { + ) ) .
■ ■
 
( {
+
п )
, п + х
(и +
1
)! 
■'п+\
'
2
қуйидаги тақ-
(9.7)
Юқоридаги формулалар анча қўпол, улардан фойдаланишда ҳуш ёр
бўлиш керак. Агар ҳосила секин ўзгармаса, у ҳолда маъносиз
натижага эга бўламиз. Масалан,
/ ( х )
= л: + А/зтюс
функцияни олиб, интерполяния тугунлари сифатида бутун лу 
—
 
0
,
± 1 , + 2 , . . . қийматларни олайлик. Бу ҳолда иккинчисидан бош-
лаб барча айирмалар. нолга тенг. Демак,- қўпол тарзда 
/(х)
ни
чизиқли функция деб олишимиз мумкин. Лекин, 
N
етарлича кат-
та 
бўлганда 
х
 + Мзпго; функция чизиқли функциядан кескин
фарқ қилади. 
.
10- §. ГАУСС, СТИРЛИНГ, БЕССЕЛ ВА ЭВЕРЕТТ
ИНТЕРПОЛЯЦИОН ФОРМУЛАЛАРИ
Интерполяция хатосини камайтириш мақсадида, х, интерполя-
ция тугунларини интерполяцияланувчи эс -нуқта. атрофида олиш
маъқулдир. Чунки бу ҳолда қолдиқ ҳадда қатнашадиган ? нуқта
ҳам 
х
га яқин жойлашган бўлади ва демак, /<я+1) (Е) ҳам айтар-
ли даражада ўзгармайди. Натижада, қолдиқ ҳадга кескин таъсир
этадиган миқдор фақатгина
П
|ш„+ 1 (Х)1 — П
\Х 
—
+ |
. 
. 
•
/=о
2 2 7
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

бўлиб қолади. Б у ифода 
х
билан интерполяция тугунлари ораси-
даги масофаларнинг кўпайтмасидан иборатдир. Шунинг учун ҳам,
/ (
х )
ни интерполяциялашда л: га нисбатан энг яқин 
п
та нуқтани
олсак, |<о
„+1
 (х) | минимал қийматга эга бўлади. Кўриниб турибдиг
ки, 
п — 2к
бўлса, л: нинг чап ва ўнг томонларидан 
к
тадан нуқ-
та олиш керак. Агар 
п
=
2к
 + 1 бўлса, у вақтда л; га энг яқин
бўлган тугунни олиб, сўнгра чап ва ўнг томонлардан 
к
тадан
нуқталар олиш керак.
Ҳозир интерполяцион формулаларни мана шу ғояга асосланган
ҳолда тузиш билан шуғулланамиз. Бундай интерполяцион кўпҳад-
ларнинг чизиқли комбинацияларини олиб, айрим ҳолларда аниқ-
ликни туширмасдан кўпҳаднинг даражасини пасайтириш мумкин.
Биз дастлаб шу методга асосланган Гаусс интерполяцион форму-
лаларини чиқарамиз. Агар функция 
х
 £ ^х0, 
х 0
 +
нуқтада ин-
терполяцияланса, у ҳолда интерполяция тугунларини 
х 0, х 0 + к,
лс
0
 — 
к, . .
. , 
х 0-\-кк, х 0
 — 
кк
тартибда олиш маъқулдир. Чунки
ихтиёрий 
п
учун шу тугунларнинг аввалги 
п
тасини олсак, улар
х га энг яқин турган нуқталардан иборат бўлиб, шу нуқталар
бўйича тузилган интерполяцион кўпҳаднинг хатоси, ихтиёрий
бошқа тартибда олинган нуқталар бўйича тузилганидан кичик
бўлади.
Гаусснинг биринчи интерполяцион формуласини тузишда 2 « + 1
та
х 0, х 0 + к, х 0 — к, . . .
, 
х 0
 +
пк, х 0 — пк
 
(
10
.
1
)
нуқталар учун Ньютоннинг тенг бўлмаган оралиқлар учун интер-
поляцион формуласини ёзамиз:
£»«(*) =»Л*о) +/(*0, +) 
(Х—Х0) + / ( х 0, х и х-г) (х
—
х 0) (х—
х,)+ 
+ /( х
0
,х и х - и х 2) (х — х 0) (х — х г) (х — Х-1) +
+ / ( Х 0, Хи Х -
1
, Хи Х - 2) (х—х 0) (Х—Хг) (Х—Х -
1
) (Х—Х2) + . . .
+
+ / ( Х
0
*Х\ 
>х —1
 
> • • . Хп, Х —п)(х
Х0)(Х ЛҲ) . . . 
(X Х—(П—
1
))(Х х п).
(
10
.
2
)
Бунда х « = х 0+ й деб, бўлинган айирмаларнинг чекли айирмалар
орқали ифодасидан фойдалансак, у ҳолда
- / о + / / +
 Д
@2п(х о
 +
М)
 = 
Ь
2
п(х
0
 +
1
к) 
* ( * - ! ) , „ 
{(Р
— 1)
- 
Р
2
 •/.
3!
_1_ ^ . - Н Р 2- ! ) • ■ ■ 
[ Р - ( п -
1)»] , 
п г -/ Ча 
(2п
— 
1
)!
I 
рп + 2-
1) •• • 
[ Р- ( п - \ П ({+п)
' у <>
 
(
2
и
)1
+
(10.3)
ҳосил бўлади. Б у 
Гаусснинг бирити, интерполяцион форму-
л а си
ёки 
Гаусснинг олға интерполяцион формуласи
дейила-
ди. Бу формула (10.1) нуқталар учун тузилган Лагранж форму-
2 2 8
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

л.чсшшнг ўзи бўлиб фақат бошқача тартибда ёзилганидир. Ш у-
шшг учун ҳам бу формуланинг қолдиқ ҳадини бевосита ёза ола-
мпз:
у(2п+1) ф л 2п+1 
(
2
/
2
+
1
)!
(((2-
 
1
) . . . 
(I2 — п2).
(10.4)
(10.3) формулада қатнашадиган айирмалар 2 7 - жадвалда стрелка-
ларнинг йўналиши бўйлаб паотки „синиқ сатрни“ ташкил этади.
Агар биз (
10
.
1
) нуқталарни бошқача тартибда, яъни х 0, 
х 0—к,
х 0
+ Л, . . . , 
х 0 — пк, х 0 + пк