Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

каби олсак, у вақтда 
х£[х0 - - ^ ,
х 0)
нуқтада интерполяциялаш учун яхши натижа берадиган 
Гаусс-
нинг иккинчи интерполяцион формуласи
ёки 
орцага интер-
поляциялаш формуласа
о
2
„ (*с
+ т = ц п(х'0+ ( к )
= /
0
+ / ^ ^ + /
1
^ ±
1
) +
, 
л
(
М
+
I 
р.п
- 1 
( ^ 2 
2 2) - . . [ < » - ( „ - ! ) » ]
"гУ +
31
-г 
• • • -Г У _
1
_ 
(2п — 1)! 
—
2 
2
Д_ 
пп
^ + - 1 ) + - 2 3 ) . . . 
[ Р - ( п -
1)4 
(( + п)
п .
+ /0 
(2п)1 
(Ю.о;
га эга бўламиз.
Бу формулада қатнашадиган чекли айирмалар 27- жадвалда
устки „синиқ сатр“ни ташкил этади. Унинг қолдиқ ҳади эса
А2п-\-\)
/с\
^ « = / (
2
/ Г + т ^ г ^ 1^ 2- 1) (*2 ~ 22) • • • (*2- « 2) 
( 10-6>
га тенг. Гаусснинг ҳар иккала формуласини қўшиб ярмини олсак,
қуйидагига эга бўламиз:
^2п(Х0 + ^) “ Л + 
^
 +
Д ~2
---Г • • • +
, 
п С2п~1
( Р - 2 » ) . . . [ < » - ( Я - 1 ) Ч
,
л Р / о
(
2
я — 
1
)! 
^
, „„ + ^ - 1 ) . . .
[ Р - ( п - \ у ]
"г 7о 
(
2
/
2
)! 
’
(10.7)
чунки
1
(-* + - ! ) (/2-
2
2) . ■ ■ 
[ Р - ( п - т (( — п)
,
2
\
(
2
/
2
)!
I + 2 — 1) + — 23) . . . [I2 — 
(п
— I)2] 
(*
+
п) )
(
2
/
2
)! 
•
Р(Р
— 1) ... 
\Р — (п—
I)2] 
(2п)!
ва
_
1
_
2
2п-1
1/з
* Д п~1
229
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

2 7 - ж адвал
Ҳосил қилинган (10.7) формула 
Стирлинг интерполяцион фор-
муласи
дейилади. Бу формулада 28- жадвалда кўрсатилганидек
о индексли жуфт тартибли чекли айирмалар ва 
*/2
ҳамда 
—5
 
/2 
индексли тоқ тартибли чекли айирмаларнинг ўрта арифметиклари
қатнашади.
2 8 - ж а д в а л
* 
1
Г
/'
/з
/ ‘
I 
х ~
2
7-2
л: , 
л - 1
/-!
/-%
/—
1
х0
XI
Ўо
/Г
_
1
_(
2
1
/V.
/о
А
1 ( /—
'/•
2’ ,з 
1 /'/.
£о
1
I /з 
,
Н
230
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

/?,„(*) Ч ; 
- 1) (/2 
-
22) • • . (*2 - «2) 
(10.8).
К ў р и н и б т у р и б д и к и , С ти р л и н г ф о р м ул аси н и н г қ о л д и қ ҳ а д и
га тенг. Гаусснинг иккинчи интерполяцион формуласини 
х %
нуқта
учун қўлланса, қуйидаги формула ҳосил бўлади:
1 гп{хх
+
ик)
*
I 4 ,, [ 
#
и(« +
1
)
■ /
1
+
/ ‘1ги
 + /
1
•д
и(и
2
 — 
1
)
/
2
л
- 1
и(и
2
 
1
) •
^
•/ ч / а
2 
1 ' V»
[ ц 2 _ ( И _
1 ) 2 ]
3!
+ л
■
2/1
+
. . . 
+
(
2
« —
1)1
 
' 
и(иа — 1) . . . [ц2 — (Л— 1)2] (и +
п)
(
2
я
)1
(10.9)
Бу формулада « == — -+ + белгилаш киритсак ва буни / «= *
орқали ифодаласак, и =
1 бўлиб, (10.9) формула қуйидаги кў-
ринишга эга бўлади:
В^п(х о
+
= / 1 + / ‘/„(^ — 1) + / 1 • — 2!------- ^ + /а ---------- Ш------------
.
, 
/2и-
1
К/2-
1
) • 
■
• 
[*»-(л- 
2)2] 
(/-л + 1) 
О - л )
+ • • • “!■ + /, 
_
/
2
/
1-1
+ 2
 — 1) . . .
[Р — (п
+ Л П-
(2л — 1)1
12
] (*.
+
-л)
(2л)1
(
10
.
10
)
Энди, бу формулани Гаусснинг биринчи интерполяцион формуласи
(
10
.
3
) билан қўшиб, ярмини олсак ҳамда қуйидаги
■ у ( П п+ Л п) = ^
ва
_1_ 
ШР —
 1) . . ■ 
(Р
 — л2) 
ЦР—1)
. . ■
[/з—(я—1)а](/—л) 
((—п—1)
2
I 
(
2
я +
1)1
 
+
(
2
я +
1
)!
_
К /2- 1 ) . . . Қ2— (л — 1)2] Қ —- л) 
( I
- » / 2)
(2л + 1)1
муносабатлардан фойдалаисак, у ҳолда 
Бессел формуласи
ҳосил
бўлади: 
.
Вгп(х
 о + /Л) = ^
 + Д [
I
- - Д ) + [хД, 
+
21
1 
(л — 2)2] 
У - П +
1) 
(2л — 1)1 
-
1) • • . [/
2
- ( я -
1
)
2
] ( / - я)
(2я)!
' - т ) +
(
10
.
1 1
)
Бу формула, умуман айтганда, интерполяцион формула эмас, чунки
у мос равишда
Х—пу
. 
. . , 
Хп
ва 
Х—(п—
1
), . . . » ^я
+1
231
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

тугунларга эга бўлган иккита интерполяцион кўпҳадларнинг ўрта
арифметигидир. Яъни у фақат 2
п
та 
х - ^ - ц , . . . , х п
тугунларда
,/{х)
билан уетма-уст тушади, лекин бу формулада функциянинг
Х - п
 
ва 
х п+\
нуқталардаги қийматлари қатнашган. (10.1-1) кўпҳад
интерполяцион бўлиши учун, яъни унинг 
Х - п
 
ва 
х п+{
нуқталар-
да ҳам 
/ (х)
 
билан устма-уст тушиши учун, унга яна битта ҳад
қўшиш керак: 
- 
.
В з п + \ ( Х 0
^ )
^ 2 п + \ ( - ^ о
~Ь 
33
- + , + Д
(‘ ~
т ) + ‘‘Д
+ • ■ • +
+
- О - О Ч
+
. 
р п
+ 1 ^ 2- ! ) . . . I/2 —
(п
— I)2] (/ — 
п) ({
— 1/2)
(2п
+ 1)1
(
10
.
12
)
Бу формула 
Х - п, . . . , х п, х п+\
 
нуқталар бўйича тузилган Лаг-
ранж интерполяцион кўпҳади билан устма-уст тушганлиги учун
унинг қолдиқ ҳади
х(
2
/г+
2
)/с\
Ъп +\(Х)
 -
П
 
• • • 
( Р - П * )
[ / - ( „ + ! ) ]
(2 
п
+ 2)1
бўлади. Демак, (10.11) формуланинг қолдиқ ҳади эса
Н 2 п +
2(*) =/*•+*
л
2
п
+ 2 / ( 2
п
+ 2 ) ( £ )
+
(2 
п
+ 2)!
((№
 — 
1
) . . . [^ — (П — 
1
)Я (
( - п
) ( / _
1
/а)
*(*а 
~
 
1
)
(2п
+ 1)!
(/2 — 
п2)
[/
+
(
й
+ 1 ) ]
(10.13)
га тенг. Бессел формуласини оралиқ ўртасида, яъни / =
1/2
да
қўллаш қулайдир. Бу ҳолда барча тоқ тартибли айирмаларга эга
бўлган ҳадлар нолга айланади. Бессел формуласида қуйидаги
айирмалар қатнашади:
X
/
/•
р
р
/•
х _ 2
/ —2
/ - • / .
х-\
1 [ / - 1
/ 1 ,
х0
т{А
/ - • / .
1 И
х х
/1
А
А
1 ( /о4
лг3
/ з
А
/ 22
А
Т^
Ниҳоят, кенг қўлланиладиган формулаларнинг яна бирини тузамиз.
Бунинг учун
• 
ў2к + \
 _ у
2
А 
р2к
2 3 2
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

мупоеабат ёрдамида, Гаусснинг биринчи интерполяцион формуласи
(10.3) дан тоқ тартибли айирмаларни йўқотамиз. У ҳ о л д а а й и р -
ма оддидаги козффициент 
.
ц у — [)
. , ,
(& — №)
( 2 к
+ 1)!
га тенг бўлиб, 
Д к
айирманинг козффициенти эса қуйидагига тенг:
1
(
1
'
~
 
1
) 
. . . 
\р — (к—\у] (1 — к) 
1(П
 — 
1
) . . ■
 
[ Р
— (к —
 
1
)
2
] 
( Р
 
— 
к+^
... 
( 2
 
к)\
( 2
 
к +
1
)!
1(Р
— 1) . . .
[Р — ( к —
1)2] 
(1 — к) ( к + \ — 1)
=
(2
 
к
+
1
)! 
’
Охирги ифодада 
1 = \ — и
алмаштириш бажарамиз:
(1—« ) ( 1 - и —1)(1—и + 1 ) . . .
( \ — и — к + \ ) ( \ — и + к - \ ) ( \ — и — к ) ( к + \ — \ + и )
( 2 к
+ 1)!
__ и(и
2
 — 
1
) . . . (и* — 
к+
~
( 2 к + \ ) \
’
Натижада, қуйидаги 
Эверетт. интерполяцион, формуласи
ҳо-
сил бўлади: 
..
И-2п+\
( + + ^ ) = / / + /^
+ + -
1
)
31
+ /о « + /о
и(и2— 
1
)
31
+ . . . + /
+ л
у „ и ( и * - Р )
; „ 1 ( Р - \ )
■ ■ ■ 
( Р - п - > )
( 2
 
п +
 
1
)!
. (и
2
 — и2)
+
(
2
и +
1
)!
Бу формуланинг қолдиқ ҳади 
х ~ п,
. . . .
х
п+ 1
тугунлар ёрдамида
тузилган Гаусс формуласининг қолдиқ ҳади билан устма-уст ту-
шади:
(
2
п
+
2
)!
1 ( ў
— 1) . . . 
( ў
— 
и 2)
[7 — (# + 1)].
Эверетт формуласи одатда жадвални зичлаштиришда қўлланилади,
я'ьни 
х 0
 +
кк
тугунларда функция қийматларининг жадвали бе-
рилган бўлса, 
х 0
 +
кк'
тугунларда функция қийматлари жадвали-
. 
^
ни тузишда фойдаланилади, бу ерда 
к' — — (И —
 бутун сон).
11- §. ТЕНГ ҚАДАМЛИ ИНТЕРПОЛЯЦИОН ФОРМУЛАЛАРНИ
ҚЎЛЛАШ УЧУН ТАВСИЯЛАР
Функциянинг жадвалдаги қийматлари одатда тақрибий бўлиб,
уларнинг лимит абсолют хатолари охирги хона бирлигининг ярми-
га, биринчи тартибли айирманики охирги хонанинг бир бирлигига,
иккинчи тартиблисиники охирги хонанинг икки бирлигига, учинчи
тартиблисиники эса охирги хонанинг тўрт бирлигига тенг бўлиши
мумкин ва ҳоказо. Силлиқ функцияларда одатда тартиби ортган
сари айирма кдмая бориб, бирор тартибга етггдда деярли ўзгар-
мас ва ундан кейингилари кичик миқдор бўлиши керак. Лекин,
2 3 3
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

функция қийматидаги хато ҳисобига, айирма нолга айланмасдан
тартибсиз ишора билан ортиб кетиши ҳам мумкин. Бундай натижа-
лар нотўғри бўлиб, улардан фойдаланиш мумкин эмас. Шунинг
учун ҳам мунтазам ўзгарадиган айирмаларнинг энг юқори тарти-
бини аниқлаш керак. Сўнгра эса интерполяциялаш учун интер-
полягион формулани қуйидагиларга асосланиб танлаш керак. Агар
функциянинг қиймати ҳисобланиши керак бўлган