|
лиқ учун интерполядион формуланинг хатолиги қуйидагича б ў -
лади:
М „ ,. (Ъ
_
а}п+1
Ш(х)
| -
\/(х) - Ьп(х)
| <
(Ь
...... ..
6- §. БЎЛИНГАН АЙИРМАЛАР ВА УЛАРНИНГ ХОССАЛАРИ
Ҳосила тушунчасининг умумлашмаси бўлган бўлинган айирма-
лар тушунчасини киритамиз. Бирор синфдан олинган
/ (х )
функ-
ция ва бир-бирларидан фарқли
хе,
х и . . . ,
хп
тугунлар берилган
бўлсин.
Д х )
функциянинг
х = Х(
тугундаги нолинчи тартибли
бўлинган айирмаси деб
Д х )
га айтилади; биринчи тартибли бўлин-
ган айирмаси эса
(хь х }
тугунларда)
Л * н
(6Л >
тенглик билан аниқланади,
х ь Хр х т
тугунларга мос келган
иккинчи тартиблиеи эса
Д х и X], х т)
/(XI, х т) — Ў(хъ X])
Хт — Х^
тенглик билан ва, умуман,
к-
тартибли бўлинган
Д х 0, . . . , х к)
айирма
( к —
1
)- тартиблиси орқали
/ ( X
о,
/ ( х ъ
. . . ,
х к) — /(Хр,
. . •
Х к -
1)
х к — х 0
формула билан аниқланади.
Бўлинган айирмаларни 22- жадвал
кўринишида ёзиш маъқулдир.
22- жадвал
х 0
XI
Хц
Х
3
X*
/(Х о )
/(XI)
/ ( х 3)
/ ( х 3)
/(Хд
/ ( х 0,хх)
/(ХиХ3)
/ ( Х ц , Х 3)
/ ( Х
3
, Х/ )
/ ( х 0,х1,х2)
/ ( х ъх 2,х3)
/ ( Х ъ Х
3
, Х/ )
Г(х0,хьх 2,х3)
/ ( х их 2,х3,х/>
/ ( х 0,хих 2,х3,хй
215
www.ziyouz.com kutubxonasi
Л емм а. Бўлинган айирмалар учун
'
Л х о,
• • • » * * ) —• 2 П
{XI —х})
(®.2)
тенглик ўринлидир.
И сбот. Леммани индукция методи билан исбот қиламиз:
к —
0
бўлганда (
2
.
2
) / ( х 0) ==
Д х о)
тенгликка айланади.
к =
1
бўлганда
(2.2) тенглик (2.1) тенглик билан устма-уст тушади. Фараз қилай*
лик, (2.2) тенглик
к
<
п
учун ўринли бўлсин. У вақтда
/(.Х
0
,
•
• •
, Х п +
0 --
/(■*!■
. . . .
Х п +
1)
—
/(ЛГр, ■ ■
■
ЗСп-\-\
х 0
Хп)
1
Хп +
1
— Х
0
Г п
+1
2
1=1
/ ( Х [ )
М(Х
1
—X.)
1 < / < п + 1
~
2£=0
Г(Х
1
)
)ЦХ
1
— ЛГу)
'1
+
1
0 < / < п
.
Б у тенгликнинг ўнг томонида
1 ф
0,
1 ф п - \ - \
бўлганда
Л х д
олдидаги козффициент қуйидагига тенг:
1
Хпф\
Х
0
__
( Х
1
— Х о ) — ( Х
1
—
Х п +
1)
1
( Х п
+1
—
х 0)
Н
( х ь — х , )
П (д:г —
х ,) '
!Ф‘
]Ф
1
0 < / < я + 1
0 < / < я + 1
яъни изланаётган кўринишга зга;
I
=
0
ва г' =
п
+
1
лар учун
.Лх+)
фақат бир мартагина қатнашади ва унинг олдидаги коэффи-
циент керакли кўринишга эга бўлади. Шу билан лемма исбот
бўлди. Бу леммадан қатор натижалар келиб чиқади.
1
- натиж а. Функциялар алгебраик
йиғиндисининг бўлинган
айирмаси қўшилувчилар бўлинган айирмаларининг алгебраик йиғин-
дисига тенг.
^
.
2
- иатиж а. Узгармас кўпайтувчини бўлинган айирма белгиси-
дан ташқарига чиқариш мумкин.
3- натиж а. Бўлинган айирма ўз аргументлари
х 0, х
, , . . . ,
х„
ларнинг симметрик функциясидир, яъни уларнинг ўринлари алмаш-
тирилганда бўлинган айирма ўзгармайди.
Бу натижаларни исботлашни китобхонга ҳавола қиламиз.
1
П
( Х
1
—
Х>)
1
Ф
1
_ 1 < / < л + 1
1
Л
( Х 1
■
0 < / < л
■XI)
7- §. НЬЮТОННИНГ БЎЛИНГАН АЙИРМАЛИ ИНТЕРПОЛЯЦИОН
ФОР.МУЛАСИ
Лагранж интерполяиион кўпҳадининг ҳар бир ҳади интерполя-
ция тугунларининг ҳаммасига боғлиқдир. Агар янги тугунлар
киритиладиган бўлса, интерполяиион кўпҳадни қайтадан қуришга
тўғри келади. Бу Лагранж интерполяцион кўпҳадининг камчилиги-
2 1 6
www.ziyouz.com kutubxonasi
дир. Лагранж интерполяцион кўпҳадини шундай тартибда ёзиш
мумкинки, ҳосил бўлган кўпҳаднинг ихтиёрий г- ҳади интерполя-
иия тугунларининг фақат аввалги г' тасига ва функциянинг шу
тугунлардаги қийматларига боғлиқ бўлади. Айтилганларни бўлин-
ган айирмалар ёрдамида бажарамиз:
/ ( х )
—
1
*п(х )
=
Д х )
-
2
'
1=0
/+ г)
(Х—ХЛ )Цх
1
—
X])
/ ф (
/ + )
П
II
(х
—
хЦ
1 = 0
П
+
2
1= 0
/ ( X I )
(XI —X)
II + ; —
X])
т
Бу ифодани
6
- параграфдаги лемма билан солиштириб кўрсак,
квадрат қавслар ичидаги ифода
/(х;
д:0; . . . ;
х п)
нинг айнан ўзи
эканлиги келиб чиқади. Демак, биз
/ ( х ) — Ьп(х)
= / ( х ; х 0; . . . ;
х„) юп+
1
(х)
(7.1)
деб ёзишимиз мумкин.
Энди
1„,(х)
тугунлари л 0,
х ъ . .
. ,
х т
дан иборат
бўлган
Лагранж интерполяцион кўпҳади бўлсин. У ҳолда Лагранжнинг
Ь„(х)
интерполяцион кўпҳадини
Ь„(х)
=
Ц(х)
+ [£.,(*) -
и х )
] + . . . +
[Ь„(х) - и и х )\
(7.2)
кўринишда ифодалаш мумкин.
Бу ерда Ат (л:) —
Ьт^ ( х ) х 0, х и . . . , х
т - 1
нуқталарда нолга
айланадиган
т-
даражали кўпҳад, чунки Д „(х;) =
1
т- \
(•+■)=/(•+)
(у = 0
,т
— 1). Шунинг учун ҳам
1
т(х) — Ьт- х(х) = А„Юп(х), Ю„{х) = (Х — Х0) . . . (Х — Хт-
1
)-
Бунда л: =
х т
деб олсак,
/ ( х „ )
-
1т-\
(
х„
,) =
А,ию„{х„)
га эга бўламиз. Иккинчи томондан (7.1) тенгликда
п = т —
1 ва
х = х т
деб олсак, у ҳолда
/ ( х т)
/т- \( х, н) — / ( х т\ Хй',
. . . ;
Хт-\)юп(х
Шундай қилиб,
А т
=
/ ( х й,
. . . ;
х т)
ва демак,
Ь„,(х) - Ьт- Х(х) = / ( х 0\
. . . ;
х т) ю„,(х).
Бу миқдорларни (7.2) тенгликка қўйиб, қуйидагига эга бўламиз:
7.„(х)
= / ( х 0)
+
/ ( х 0; Х\) (х — х 0)
+ . . . +
+ /(+ ,; + ; . . . ;
х^) (х — х 0)
. . .
(х — х п-\).
(7.3)
Бу ҳосил бўлган интерполяцион кўпҳад
Ньютоннинг бўлинган
айирмали интерполяцион кўпҳади
дейилади.
+
+1
+ Ч
(7.1) тенгликни
/ ( х )
—
Ь„(х)
=
■
+ ; ' ш«+
1
(л:) тенглик билан
солиштирсак
217.
www.ziyouz.com kutubxonasi
Д х \ х 0; . . . \ х п)
келиб чиқади. •
(п
г 1)!
,
* 0
< Е <
х п
(7.4)
Энди бир хусусий ҳолни, яъни
Д х ) т-
даражали кўпҳад
т
РЛх)
= ^ — г
т
2
а‘х1
1=0
Рт{Х,
ЛТ0, . . . ,
Хп)
бўлган ҳолни қарайлик. (7.4) формуладан ихтиёрий
х 0, х х
............
...
лар учун қуйидагига эга бўламиз:
а„,агар
т = п
бўлса,
0
, агар т е < л бўлса.
Ньютон интерполяцион формуласини тузишда ҳам Эйткен схема-
сидан фойдаланиш мумкин. Қуйида Ньютон интерполяцион фор-
муласининг қўлланилишига доир мисол келтирилган.
М и с о л.
у = ў(х)
функциянинг қуйидаги
X
0
5
10
12
13
15
16
У
1
151
1051
1789
2263
3451
4177
экадвалда берилган қийматларидан фойдаланиб, унинг
х=12,5
даги қиймаги-
ни топайлик.
Е ч и ш. Бўлинган айирмалар жадвалини тузамиз:
0
1
30
5
151
180
15
1
10
1051
369
27
1
12
1789
474
35
1
13
2263
■" ” 40
594
1
15
3451
726
44
16
4177
Учинчи тартибли бўлинган айирма ўзгармас бўлганлиги учун
у
■» / (
х
)
функция 3- даражали кўпҳад экан. Берилган
х
— 12,5 қиймат жадвалдаги
л = 1 2
ва
аг
=
13 қийматлар орасида бўлганлиги учун, ости чи-зилган бўлинган
айирмалардан фойдаланиб, Ньютоннинг иитерпояцион формуласини тузамиз:
/ ( х )
= 1789 + 474(
аг
— 12) + 40
(х —
12)
(х
— 13) +
(х
— 12)
(х —
13) (лг-15).
Бундан
/(12,5) = 1789 + 474-0,5 — 40-0,5-0,5 + 0,5-0,5-0,25 = 2016,625.
8- §. ЧЕКЛИ АЙИРМАЛАР ВА УЛАРНИНГ ХОССАЛАРИ
Фараз қилайлик аргументнинг ўзаро тенг узоқликда жойлашган
х {
= д : 0 + й
(Н
— жадвал қадами) қийматларида
Д х )
функциянинг
мос равишдаги қийматлари / “ / ( +
2
) берилган бўлсин.
Ушбу
218
www.ziyouz.com kutubxonasi
Do'stlaringiz bilan baham: |
