|
1
Л’
1
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,62879
0,63654
0,64422
0,65183
0,65938
—0,024
—0,014
—0,004
0,006
0.016
0,647400
0,647292
0,647264
0,647300
0,6472488
0,6472808
0,6472424
0,6472626
0,6473038
0,6472679
. 51п 0,704 - 0,64727
211
www.ziyouz.com kutubxonasi
4- §. ЛАГРАНЖ
ИНТЕРПОЛЯЦИОН
#
ФОРМУЛАСИНИНГ ҚОЛДИҚ
ҲАДИНИ БАҲОЛАШ
Агар бирор
\а, Ь\
оралиқда
берилган
)(х)
функцияни
1
-п(х)
интерполяцион
кўпқад билан
алмаштирсак, улар интерполяция
17-чизма.
тугунларида ўзарэ
устма-уст
тушиб, бошқа нуқталарда зса фарқ қилади (17- чизма). Шунинг
учун қолдиқ ҳаДнинг
Ғ)(х) ~ / ( х )
—
Ғп(х)
кўринишини топиш ва
уни баҳолаш билан шуғулланиш мақсадга мувофиқ. Бунинг учун
интерполяция тугунларини ўз ичига оладиган
\а, Ь\
оралиқда
/ (х )
функция ( « +
1
)- тартибли
) {п+х) (х)
узлуксиз ҳосилага эга деб
фараз қиламиз. Интерполяциянинг қолдиқ ҳади
Н(х)
учун қуйи-
даги теорема ўринлидир.
Т еор ем а. Агар
/ ( х )
функция
\а, Ь\
оралиқда ( я + 1 ) - т а р -
тибли узлуксиз ҳосилага эга бўлса, у ҳолда интерполяция қолдиқ
ҳадини
а
д
=
/
<
«
+
( 4. 1)
-кўринишда ифодала ш мумкин. Бу ерда £ £
\а, Ь)
бўлиб, умуман
айтганда
х
нинг функциясидир.
И сбот. (4.1) ни кўрсатиш учун ёрдамчи ®(.г) =
Ғ)(г)
—
К^п+\(г)
■функцияни текширамиз, бу ерда
К
комаълум ўзгармас коэффи-
циент. Бу функциянинг
г ~ х 0, х и
. . . ,
х п
ларда ноль қиймат-
ларни қабул қилиши равшан. Номаълум
К
козффициентни шун-
дай_танлаймизки, ср(г) функция
г = х £ [ а , Ь\
ва
х = х ь
(г =
—
0
,п)
нуқталарда ноль қийматни қабул қилсин. Демак,
К(х)
“п+
1
+ )
(4.2)
Натижада ср(г) функция
\а, Ь]
оралиқнинг
п
+ 2 та
х 0, х и
. . . ,
х п, х
нуқталарида нолга айлэнади. Ролль теоремасига кўра
<р'(г)
бу оралиқда камида
п
+
1
та нуқтада нолга айланади,
<р"(г)
зса камида
п
та нуқтада ва ҳоказо, ф(л+
1
)(г) камида битта нуқта-
да нолга айланади. Айтайлик бу нуқта 2 бўлсин,
ф
^+^ (|) = 0.
Бундан
Ғп(х)
нинг
п-
даражали кўпҳад эканлигини ҳисобга
олсак:
ф(«+Х)(|) = /(/г+
1
)(£) _
1
<гл+ 1>(£) —
Ка><#Р(Ъ)
—
= / ( п + 1 )( ^ ) _ / С ( ц + 1 )! = 0 ,
яъни АГ= ■
ва бундан, ҳамда (4.2) дан (4.1) формуланинг
ўринли эканлиги келиб чиқади.
^
212
www.ziyouz.com kutubxonasi
5- §. ИНТЕРПОЛЯЦИОН ФОРМУЛАЛАР ҚОЛДИҚ ҲАДЛАРИНИ
МИНИМАЛЛАШТИРИШ ВА П. Л. ЧЕБИШЕВ КЎПҲАДЛАРИ
Мумкин қадар кичик бўлган ва |/?(л:) I -<
о.{х)
тенгсизликни
қаноатлантирувчи
а(х)
миқдор интерполяция методининг
х
нуқта-
даги абсолют хатоси ва
а
<
х
<
Ъ
оралиқда а(х) ^ а* тенгсиз-
ликни каноатлантирувчи мумкин қадар кичик бўлган а* миқдор-
эса интерполяция методининг
[а, Ь\
оралиқда абсолют хатоси
бўлади.
^
Агар
М
п+1
— т а х (/("+1) (х) | ни аниқлаш мумкин бўлса, у
қолда а(л:) ва а* ни табиий равишда
а
а(х)
М,
М п + г
1 « + 1 ) Г ’
"+1
т а х
К +
1
(л:)|
(я+ 1 )!
а < х < Ь
( 5 . 1 )
тенгликлар билан аниқлаш мумкин. Охирги тенглик шуни кўрса-
тадики агар
/( х)
функция ва шу билан бирга
М
п + 1
берилган бўл-
са, у ҳолда
а1‘
фақат
шп+\ (х)
гагина боғлиқ бўлиб қолаДи. Лекин
ш
„+ 1
(х) кўпҳад интерполяция тугунлари х 0)
х х,
. . . ,
х п
билав
тўла равишда аниқланади.
Шундай савол туғилиши мумкин:
\а, Ь\
оралиқда интерполя-
ция тугунларини танлаш ҳисобига шу оралиқда интерполяция
методининг абсолют хатоси энг кичик бўлишига эришиш мумкин-
ми? Бу саволга жавоб бериш уч ун П. Л . Чебишев кўпҳадлари
ва уларнинг хоссаларидан фойдаланамиз.
'
Чебишев кўпҳадлари
Тп(х)
қуйидагича аниқланади:
Тп(х)
= соз
\п
агс созх],
|х| < 1.
Бундан
п
= 1 да
Т\(х)
= соз(агссозх) =
х
ва
п —
2
да
Т - г ( х )
= соз[2агссозх:] = 2соз2(агс созл:) — 1 *= 2л:2— 1.
Сўнгра
соз(« +
1)0
=
2
соз
0
созд
0
— соз(« —
1)0
айниятда 0 = агссозл: деб олиб
Тп(х)
учун
Тп+\(х)
= 2
х Т п(х)
—
7 1
_
1
(
л
:)
(5 .2 )
рекуррент муносабатга эга бўламиз. Бу муносабатдан кўринадики,
Т п(х) п-
даражали кўпҳад бўлиб, л: нинг юқори даражасининг
коэффициенти
2-'+ га тенг экан. (5.2) формуладан кетма-кет
қуйидагиларни топиш мумкин:
‘
Т
8
(
х ) = 4х
3
—
Зх,
Т / х ) =
8
х* —
8
х 2+ \ ,
Т^(х)
= 16л:5 — 20л
:3
+ 5л:,
Т
6
(х)
= 32л:6
4 8 х 4 + 18л:2 — 1,
1
| 213
www.ziyouz.com kutubxonasi
Тп(х)
нинг барча
п
та илдизлари ҳақиқий бўлиб [— 1,1] ора-
лиқда жойлаш-ган. Улар соз[пагссо
8
л:] = 0 тенгликдан топилади:
ТС /Гч# . 1Ч ..
(2к
4- Пте
«агссозл: == — (
2
к-\- \)
еки
х к
= соз
—2п
■
■
■
Бунда
к
га
п
та турли 0, I, . . . ,
п —1
қийматлар бериб,
п
та
турли илдизларга эга бўламиз. Энди
Тп(х)
нинг [— 1, 1] оралиқ-
даги максимум ва минимумларини топамиз. Стационар нуқталари
Т'п(х)
=
О дан.яъни 51п[лагссо5х] =
0
тенгликдан топилади. Бундан
л:т = со
5
- ^ - (та = 0, 1, . . . ,
п)
ва
Тп
(соз ^ • ) = ( —
1)п.
Демак,
барча максимумлар
1
га тенг.
Агар интерполяциялаш оралиғи [
а
,
Ь
[ сифатида [— 1, 1] ва
интерполяция тугунлари сифатида эса Чебишев кўпҳадларининг
илдизлари
х к
лар олинса, у ҳолда (%+
1
(л:) =
Т
„+1
(х)
ва
шах [со
„+1
(* ) [ ==
~
бўлади.
—
1<*<1
2
Қуйидаги
=
+
. . .
кўпҳадлар нолдан зн з
кам оғувчи кўпҳадлар
дейилади.
Бу таърифнинг маъносини қуйидаги лемма аниқлайди.
Лемма. Бош козффициенти 1 га тенг бўлган ҳар қандай
п-
даражали
Рп(х)
кўпҳад учун қуйидаги тенгсизлик ўринли:
шах
\Рп(х)
[ >- т а х
\Тп(х)\
1
-М !
1
-
1
.
1
]
_ 1
__
2« -1
•
И сбот. Тескарисини фараз қиламиз. У ҳолда
Тп(х) — Рп(х)
кўпҳад
(п—
1
) даражали бўлиб, шу билан бирга
51§
п
[Т
л
(
д
;а) -
Р п(хк)
] — з
1
§П
~ ( - 1 ) й
2«-1
Рп&к)
( —
0
*.
чунки, шартга кўра, барча
к
лар учун
\Рп( х^
[ <
Шундай
қилиб,
Тп(х)
—
Рп(х) .
кўпҳад барча
к —
0, 1, . . . ,
п
лар учун
қўшни
х к
ва
нуқталарда ишораеини ўзгартиради. Демак,
( н - 1 ) - даражали
Тп(х)
—
Рп(х)
кўпҳад нолдан фарқли, чунки у
х к (к—
0
,п)
нуқталарда нолдан фарқли бўлиб,
п
та ҳар хил ил-
дизларга эга. Б у эса қарама-қаршиликка олиб келади.
Агар интерполяция ихтиёрий [а,
Ь\
оралиқда бажарилса, у
ҳолда
х
= — [
(Ь — а ) г
+
Ъ
+
а\
ёрдамида_ уни [ —
1
,
1
] оралиққа келтириш
бирга
Тп(х)
кўпҳад бош
коэффициенти
га тенг бўлган
Тп
|
чизиқли алмаштириш
мумкин. Ш у билан
<Ь-а)п
кўпҳадга айланади.
.2 1 4
www.ziyouz.com kutubxonasi
Леммага кўра, бош коэффициенти 1 га тенг бўлган
7%' Ь]
(*)
= ( Ь - а)п
2
1-2 '1
Тп ( * т = Г - )
к ўп ҳад [
а , Ь)
оралиқда нолдан энг кам оғадиган кўпҳаддир.
Т {п' Ь\ х )
нинг илдизлари
X. -
С05
< * -
0
Д = Т )
эканлигига ссонгина ишонч ҳесил килиш мумкин. Ихтиёрий ора-
Do'stlaringiz bilan baham: |
