Ўзгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

ЎЗГАРУВЧИЛАРИ АЖРАЛАДИГАН ВА
УНГА КЕЛТИРИЛАДИГАН ТЕНГЛАМАЛАР


1. Умумий тушунчалар.
(1)
кўринишдаги тенглама ҳосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли дифференциал тенглама дейилади. Бу ерда х – эркли ўзгарувчи, аргументнинг номаълум функцияси; f(х,у) эса (х,у) текисликнинг бирор D соҳасида (coҳa деганда, биз боғлиқли очиқ тўпламни назарда тутаяпмиз) аниқланган ва узлуксиз функция.
(а,b) оралиқда аниқланган, узлуксиз дифференциалланувчи функция (1) тенгламанинг ечими дейилади, агар у (а,b) оралиқда (1) тенгликни айниятга айлантирса:
(2)
ечим (х,у) фазода чизиқни аниқлайди, шу чизиқ (1) тенгламанинг интеграл чизиғи дейилади.
(1) тенгламанинг шартни қаноатлантирувчи ечимини топиш масаласи Коши масаласи дейилади. Бундай ечим кўпинча (х₀, у₀) нуқтадан ўтувчи ечим ёки интеграл чизиқ деб ҳам юритилади.
– ўзгармас сон, (3)
функциялар синфи D соҳада (1) тенгламанинг умумий ечими дейилади, агар у қуйидаги шартларни қаноатланирса:
1) Барча ларда (3) система (1) нинг ечимини беради;
2) С ни танлаб олиш ёрдамида (1) нинг D дан ўтувчи ихтиёрий ечимини (3) систамадан ҳосил қилиш мумкин.
Агар бизга (1) тенгламанинг (3) кўринишдаги умумий ечим маълум бўлса, унда Коши масаласининг ечимини ажратиб олиш мумкин. Бунинг учун (3) тенгликда деб С нинг шу тенгликни қаноатлантирувчи қийматини топиш ва уни (3) тенгликка олиб бориб қўйиш керак. Натижавий функция исталган ечимни беради.
Ўзгарувчиларини ажратиб ёки бошқача қилиб айтганда, ҳар иккала томонини бир хил функцияга кўпайтириб ёки бўлиб, бир томо­нида фақат x иккинчи томонида y иштирок этадиган кўринишга келтириш мумкин бўлган дифференциал тенглама ўзгарувчилари ажра­ла­диган тенглама дейилади. Хусусан,
(4)
(5)
кўринишидаги тенгламалар ўзгарувчилари ажраладиган тенгламалардир. Бундай тенгламаларни ечиш учун ўзгарувчиларини ажратиш ва ҳосил бўлган тенгликни интеграллаш керак.
Тенгламанинг ҳар икала томонини х ва у лар иштирок этган ифодага бўлинаётганда шу ифодани нолга айлантириладиган ечимларини йўқотиб қўйишдан эҳтиёт бўлиш керак.
Мисол. тенгламани ечинг.
Ечими. Тенгламани қуйидаги кўринишга келтириб оламиз:

Ҳосил бўлган тенгликнинг ҳар иккала қисмини бўлиб,

кўринишдаги ўзгарувчилари ажралган тенгламани оламиз ва интеграл­лаб:

ечимлар тўпламига эга бўламиз.
Тенгликни га бўлганда ва ёки ечимлар йўқотилган бўлиши мумкин. Тушунарлики, тенгламанинг ечими эмас, эса ечим. Лекин бу ечимларни (6) ечимлар тўпламига бирлаштириш мумкин, бунинг учун деб олиш кифоя ва демак,