|
Chebishev teńsizligi
Teorema (Chebishev ). Eger X tosınnanlı shama D X dispersiyaga iye bolsa, bul jaǵdayda∀ε> 0 ushın tómendegi teńsizlik orınlı :
(1)
teńsizlik Chebishev teńsizligi dep ataladı.
Dálilleniwi. itimallıq X tosınnanlı shamanıń [a-ε; a+ε] aralıqqa túspew itimallıǵın ańlatadı bul jerde a=MX. Bul jaǵdayda
sebebi integrallaw dógeregin kóriniste jazıw múmkin. Bul jerden ekenligi kelip shıǵadı. Eger integrallaw tarawı keńeytirilse, oń funktsiyanıń integralı tek úlkenlesiwin esapqa alsaq,
Chebishev teńsizligin tómendegi kóriniste da jazıw múmkin:
(2)
Chebishev teńsizligi qálegen tosınnanlı shamalar ushın orınlı. Atap aytqanda, X tosınnanlı shamalar bınamial nızam boyınsha bólistirilgen bolsın,
.
Bul jaǵdayda hám (1) den
(3)
n ta baylanissiz tájiriybelerde itimallıǵı dispersiyasi bolǵan hádiyseniń chastotası ushın,
(4)
X tosınnanlı shamani [ε;+∞ ) aralıqǵa tusiw itimallıǵın bahalawdı Markov teńsizligi beredi.
Teorema (Markov). Keri bolmagan, matematikalıq kutiliwi MX shekli bolǵan X tosinnanli shama ushın ∀ε>0 de
(5)
teńsizlik orınlı.
Dálilleniwi. Tómendegi qatnaslar orınlı boladi:
(5) teńsizlikten (1) di keltirip shıǵarıw múmkin.
(6)
Oraylıq shek teorema
Oraylıq shek teorema tosinnanli shamalar qosindisin bólistiriwi jáne onıń sheki normal bólistiriw arasındaǵı baylanisti ańlatadı. Bir qıylı bólistirilgen tosinnanli shamalar ushın oraylıq shek teoremani keltiremiz.
Teorema. baylanıssız, bir qıylı bólistirilgen, shekli matematikalıq kutiliwi hám dispersiyaga iye bolsin, bunday jaģdayda,
Tosinnanli shamadıń bólistiriw nızamı n→∞ de standart normal bólistiriwge umıtıladı.
(1)
Sonday eken, (1) ge kóre jetkiliklishe úlken n lerde
qosindi bolsa tómendegi normal nızam boyinsha bólistirilgen boladı : . Bunday jaģdayda tosinnanli shama asimptotik normal bólistirilgen dep ataladı.
Eger X tosinnanli shama ushın MX=0, DX=1 bolsa X tosinnanli shama oraylastırılǵan hám normallastırılgan (yamasa standart ) tosinnanli shama dep ataladı. (1) formula járdeminde jetkiliklishe úlken n larda tosinnanli shamalar qosindisi menen baylanıslı waqiyalar itimallıǵın esaplaw múmkin.
tosinnanli shamanı standartlastırsaq, jetkiliklishe úlken n larda
yamasa
Mısal. baylanıssız tosinnanli shamalar [0, 1] aralıqta tegis bólistirilgen bolsa, tosinnanli shamadıń bólistiriw nızamın tabıń hám
itimallıqtı esaplań.
Oraylıq shek teorema shártleri orınlanǵanlıǵı ushın, Y tosinnanli shamanıń
tıǵızlıq funksiyası
boladı. Tegis bólistiriw matematikalıq kutiliwi hám dispersiyasi formulasınan
boladi. Bunday jaģdayda
Soniń ushın
formulaģa kore
Matematikalıq kutiliwi a hám dispersiyasi bolǵan baylanıslı bolmaǵan, birdey bólistirilgen { } tosinnanli shamalar izbe - izligi berilgen bolsın. Ulıwmalıqqa zálel keltirmesten a = 0, = 1 deymiz. Tómendegi tosinnanli shamalardı kiritemiz:
1 - teorema. Joqarıda keltirilgen { } izbe - izligi ushın n → ∞ de
munasábet qálegen x (x ∈ R) de atqarıladı. Baylanıslı bolmaǵan { } tosinnanli shamalar izbe - izligi ushın bolsın. Tómendegi belgilewlerdi kiritemiz:
2 - teorema. Qálegen τ > 0 ushın n → ∞ de
bolsa, { } ushın oraylıq shek teorema orınlı boladı. (L) shárt Lindeberg shárti dep ataladı. Lindeberg shártiniń atqarılıwı qálegen k da qosıliwshilardiń tegis túrde kishiligin támiyinleydi. Haqiyqatinda da,
ekenligi itibarga alinsa,
Eger Lindeberg shárti orınlansa, bunday jaģdayda aqırǵı teńsizliktiń oń tárepi, τ > 0 san hár qanday bolǵanda da n → ∞ de nolǵe umıtıladı. Atap aytqanda, eger { } tosinnanli shamalar izbe - izligi birdey bólistirilgen bolsa, bunday jaģdayda
2 - teoremadan 1 - teorema kelip shıǵadı. hám n → ∞ de qálegen τ > 0 ushın
Endi joqarıdaǵı izbe - izlik asimptotik normal bolıwı ushın jetkilikli bolǵan basqa shártlerdi da kórsetiw múmkin. Mısal ushın Lyapunov shártin qarayıq. Bul shárt Lindeberg shártine kóre salıstırǵanda kóbirek talaplar qoysa da, ayirim jaǵdaylarda bul shártdi tekseriw ańsat boladı. Aytayik, qandayda bir δ > 0 san ushın
bar bolsin hám
Paydalanilǵan ádebiyatlar
1. Farmanov Sh. Q Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
2. A.A.Abdushukurov Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
3. А.Севастянов Курс теории вероятностей и математической статистики.
4.Ivchenko G.I. Medvedov Yu.I.Vvedenie v matematicheskuyu statistiku. M.L.KI.2010
Internet sayitlar:
1.www.ziyouz.com kutubxonasi
2.www.ziyonet.uz
3.www.edu.uz
Do'stlaringiz bilan baham: |
