Ózbekstan respublikasi joqari hám orta arnawli bilimlendiriw ministirligi berdaq atindaǵi qaraqalpaq

Iymek sızıq doģa uzınlıǵın esaplaw
iymek sızıqtıń doģasi teńleme menen berilgen bolsın, bul jerde úzliksiz differensiyalaniwshi funksiya. Bunday jaģdayda onıń uzınlıǵı tomendegi formula menen esaplanadı :
(1)
Bul jerde hám doģa ushlari boladi.
Eger siypaq iymek siziq teńlemeler menen berilgen bolip, x(t), y(t)- uzluksiz differensiyallaniwshi funktsiyalar bolsin, AB iymek siziqtiń doģa uzinligi l tomendegi formula menen esaplanadi.
(2)
Bul jerde shegara t parametrdiń doģasiniń á hám shegaralarina mas keliwshi mánisleri.
Eger siypaq iymek siziq doģasi polyus koordinatalr sistemasindaģi teńlemeler menen berilgen bolsa, bunday jaģdayda doģa uzinligi
(3)
formula menen esaplanadı, bul jerde hám doǵanıń A hám B shegaralarına mas polyus múyeshleri bolıp tabıladı.
Misal. Usi iymek siziqtiń absissali ushlari arasindagi doģa uzinligin tabiń.
Sheshiliwi. (1) dan paydalanamiz.

Misal. Usi sikloidaniń 1- arkasi uzinliģin tabiń.
Sheshiliwi. . Sikloidaniń 1-arkasinda ekenliginen hám (2) dan paydalanip esaplaymiz.

.
Dene kólemin esaplaw
Keńislikte Ox kósherine proyeksiyası kesindi bolǵan qanday da dene berilgen bolsın. noqattan ótetuǵın Ox kósherine perpendikulyar hár qanday tegisliktiń kesim menen kesilispesi maydanga S(x) teń bolǵan korinisti payda etedi. Bunday jaģdayda bul deneniń kólemi tómendegi formula menen esaplanadı :
(1)
Jeke halda, funksiya gafigi menen berilgen AB iymek sızıq, Ox kósheri hám x=a, y=b tuwrı sızıqlar menen shegaralanǵan iymek sızıqlı trapetsiyani Ox kósheri átirapında aylandırıwdan payda bolǵan deneniń kese kesimi maydani boladı. Sol sebepli bul aylanba dene kólemi
(2)
formula menen esaplanadi. Qisqasha .
Tap sol sıyaqlı, figurani Oy kosheri átirapında aylanıwınan payda bolǵan dene kólemin tabıw ushın formula qollanıladı.
Esletpe. Polyus koordinatalar sistemasınıń ózgeriwshileri ornına ózgeriwshilerin isletiw de múmkin. Ol halda joqarıdaǵı formulalar tómendegi kórinisti aladı :
hám
Eger , iymek siziq parametric usilda, yaģniy
Bolsa, iymek siziqli trapetsiyaniń Ox kosheri atirapinda aylaniwinan payda bolģan deneniń kolemi

formula menen tabiladi.
Polyus koordinatalar sistemasında teńleme menen berilgen iymek sızıq hám radius vektorlar menen shegaralanǵan figuraniń polyus kosheri átirapında aylanıwınan payda bolǵan dene kólemi

formula menen esaplanadi.
Aylana denelerdiń sirtiniń maydanin tabiw
, siypaq iymek siziqli doģaniń Ox kosheri atirapinda aylandiriwdan payda bolgan deneniń maydani
(1)
formula menen tabıladı.
_{Eger tegis iymek sızıq parametric korinistegi teńlemesi menen berilgen bolsa, sirtqiniń maydani}

formula menen esaplanadi.
Eger tegis iymek sızıq polyus koordinatalar sistemasında teńleme menen berilgen bolsa, onıń polyus kosheri átirapında aylanıwınan payda bolǵan dene sırtınıń maydani

formula menen esaplanadi.
tegislikti qálegen ules kopligi berilgen bolsın. Orayı noqatda, radusi bolǵan tekslikdegi sheńberdi A noqattıń - átirapı dep ataymız.
Eger sonday san tabılıp, noqattıń - átirapı koplikke tiyisli bolsa, ol halda M noqat kopliktiń ishki noqatı dep ataladı.
Eger sonday san tabılıp, M noqattıń - átirapı koplikke tiyisli bolmasa, ol halda M noqat kopliktiń sirtqi noqatı dep ataladı.
Eger M noqat kopliktiń ishki noqatı da, sırtqı noqatı da bolmasa, yaǵnıy noqattıń átirapında koplikke tiyisli bolǵan, tiyisli bolmaǵan da noqatları bolsa, ol halda M noqat kopliktiń shegara noqatı dep ataladı.
kopliktiń hámme shegara noqatlar kopligi onıń shegarası dep ataladı.
Eger koplik óziniń barlıq shegaralıq noqatların óz ishinde saqlasa, ol jabıq jıynaq deyladi.
Eger sonday sheńber ámeldegi bolıp, tekslikdegi kopliktıń barliq noqatları sol sheńberde jatsa, koplik shegaralanǵan koplik dep ataladı.
Tegisliktegi qálegen shegaralanǵan F kopliktı tegis figura dep ataymız. F tegis figuraniń shegarasın dep belgileymiz.
Tegis figura túsinigin beriwde onıń jeke jaģdayi bolǵan hám mektep stuldan málim bolǵan kopmuyeshliklerdiń maydani túsinigin tiykar etip alamız. Tekslikde jatqan shekli sandaǵı shegaralanǵan kopmuyeshliklerden quralģan figurani kopmuyshli figura dep ataymız. Tekslikdegi qálegen G kopmuyeshli figuraniń maydanin dep belgileymiz.
Kópmuyeshli figuraniń maydanin tómendegi qásiyetlerge iye.
1. Kópmuyeshli figuraniń maydani teris bolmaydı, yaǵnıy
2. G kópmuyeshli figuraniń ishki ulıwma noqatlarǵa iye bolmaǵan hám kópmuyeshlerden payda bolģan bolsa, onıń maydani sırtqı figuralariniń maydanlariniń qosındısına teń, yaǵnıy

3. Eger hám kópmuyeshlikler teń bolsa,

boladı.
4. Eger kópmuyeshli figura, kópmuyeshli figuraniń ishinde jaylasqan bolsa, yaǵnıy bolsa, ol halda teńsizlik orınlı boladı.
Esletpe. Kópmuyeshli figuranıń maydani, ol shegarası menen ba yamasa shegarasız alınadı ma, buģan qaramastan birdey sanǵa teń boladı. Kópmúyeshtegi sırtqı kórinislerdiń ayırması ni qaraǵanda figura shegarası menen, figura bolsa, shegarasız dep kelisip alamız. Bul kelgenlerimiz boyınsha figura shegarası menen alınǵan figuranı ańlatadi.
F tegis figura hám G kópmuyeshli figura berilgen bolsın.
Eger bolsa, ol halda G kópmuyeshli figura F tegis figuraǵa ishki sızılǵan dep ataladı. Kerisinshe bolsa, G kópmuyeshli figura F tegis figuraǵa sırtqı sızılǵan dep ataladı.
Endi qálegen tegis F figuranıń (yaǵnıy tekslikdegi qálegen shegaralanǵan kópliktıń ) maydani aniqlamasin beriwge kirisiwemiz:
F kópliktıń mas túrde pútkilley ishinde hám sırtında jatiwshi múmkin bolǵan barliq G hám Q kópmuyeshli sırtqı kórinislerdi qaraymız.
F kóplikke ishki sızılǵan múmkin bolǵan barliq kópmuyeshlikler maydanlariniń kópligi joqarıdan Q sırtqı sızılǵan kópmuyeshli sırtqı figuralardiń qálegen birewiniń maydani menen shegaralanǵan boladı. F kóplikǵe sırtqı sızılǵan múmkin bolǵan barliq kópmuyeshli sırtqı figuralar maydanlariniń kópligi tómennen
F kóplikke ishki sızılǵan G kópmuyeshli sırtqı figuralardiń qálegen birewiniń maydani menen shegaralanǵan boladı.
Sol sebepli F kóplikke mas túrde ishki sızılǵan hám sırtqı sızılǵan G hám Q kópmuyeshli sırtqı figuralar maydanlari kóplikleri anıq joqarı hám anıq tómen shegaralarǵa iye boladı, yaǵnıy


payda boladı. Bunda - mániske F figuranıń tómen maydani, - mániske bolsa, joqarģı maydani dep ataladı. Kórinip turģaninday, boladı.
Eger F tegis figuraǵa qandayda - bir kópmuyeshlik figura sızıp bolmasa, dep qabıl etemiz.
Aniqlama. Eger F tegis figuranıń tómen maydani menen joqarı maydani bir-birine teń bolsa, yaǵnıy , ol halda F tegis figura maydanģa (kvadratlanıwshı ) iye dep ataladı hám onıń maydani dep belgileymiz.
Sonday etip, biz elementar matematika stuldan málim bolǵan kópmúyeshtegi sırtqı figuralar maydanlari túsinigin oǵan salıstırǵanda keńlew bolǵan tegis sırtqı figuralar klasına tarqatdıq. Joqarıda keltirilgen kópmuyeshli sırtqı figuralar maydanlariniń additivlik hám monotonlik qásiyetleri tegis figuralar klasinda uyreniladi.
Teorema. Berilgen F tegis figuranıń kvadratlanıwshı boliwi ushın san alınǵanda da F tegis figuraǵa mas túrde sonday ishki hám sırtqı sızılǵan G hám Q kópmúyeshler bar bolıp, olar ushın

teńsizliktiń orinlanıwı zárúr hám jetkilikli.
Dálilleniwi. Zárúrli shárt. F - tegis figura kvadratlanıwshı yaǵnıy bolsın. Anıq shegaranıń aniqlamasina kóre, belgilengen san ushın sonday ishki sızılǵan G hám Q sırtqı sızılǵan kópmúyeshtegi sırtqı figuralar bar bolıp, olar ushın

teńsizlikler orınlı boladı. Bul eki teńsizlik hám teńlikten teńsizlik kelip shıǵadı.
Jetkilikliligi. berilgen san ushın teoremada kórsetilgen ishki sızılǵan kópmúyeshli G figura hám sırtqı sızılǵan kópmúyeshli Q sırtqı figuralar bar bolıp joqaridaģi teńsizlik orınlı bolsın. Anıq tómen hám joqarı shegaralar aniqlamalarina kóre,

teńsizlik orınlı. Bunday jaģdayda

teńsizlik kelip shıǵadı. Bunnan, ε nıń qálegen, qálegenshe kishi oń san ekenligin itibarǵa alsaq, ekenligi kelip shıǵadı.
Sonday eken, F figura kvadratlanıwshı eken.
F - qálegen tegis figura, ol shegarası menen alınǵan qálegen Q kópmúyeshliktegi figuranı ishinde, shegarasız alınǵan G kópmúyeshli figuraģa bolsa F dıń ishinde bolsın. Ol halda, Q \ G - shegarası menen alınǵan hám F dıń shegarası degi barliq noqatlardı ózinde saqlawshı kópmúyeshliktegi figura boladı.
Kópmúyeshliktegi figuranıń additivlik ózgesheligine tiykarınan, teńlik orınlı bo'lida. Bunnan kóriniste jazıw múmkin boladı.