‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

r
i
-  I. 
-t  - 
ta 
*■
 
-  >  
I 
- f
r  Hr  r  9 
He  r 8 r   Hr  rsind  p
Shunday 
qilib, 
sferik 
koordinatalar 
sistemasida 
Lame
koeffitsiyentlari va ortonormallashgan bazis
Hr =\,He =r,Hp = rsin0, 
(6.4)
er = {sin 6 cos 
 sin 6 sin 
 cos 6},  ee = {cos 0 cos 
 cos 6 sin 
 sin 8}, 
ep = {-sin
 
ko'rinishda bo‘ladi.
(6.5)
6.2.  Egri chiziqli koordinatalar sistemasida vektor analizning
asosiy amallari
Ortogonal koordinatalar sistemasida gradient 
Ortonormallashgan  e„ ev,ew  bazisli  egri  chiziqli  koordinatalar siste- 
masida  f(u,v,w)  skalyar  maydon  berilgan  boMsin.  b = grad/   vektorni 
shu bazis bo'yicha yoyamiz
grad/ = b= bue, + bvev + bwew.
Ortonormallashgan bazisda  vektor komponentalari  vektoming bazis 
vektordagi  proeksiyasiga teng:
&„=Pr*grad/ = («„grad/) =
.grad/- = ^ ( { / , / , / } ,{ / ; ,/ ; , / } ) =
Xuddi suningdek,
83
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

*v=_ L £ ,
‘ 
Hv 8v 
H ,d w
Shunday qilib,
grad f  
=-----—e„ + -----— e  + ----- —e„
S 
J 
Hu du 
Hv dv 
Hwdw
(6.6)
Xususan, silindrik koordinatalarda
df - 
1  8f ^
g™d 
f  = -f-e  + - f - e   + f - e ,  
op 
pu
oz
(6.7)
Sferik koordinatalarda
. , 5 / ,  
1 3 /_  
1 
a / ,
grad 
f  = — e. + -~r-e„ +-------- —em
8r 
r 86 
rsm 6 8
(6.8)
1-misol.  Silindrik  koordinatalar  sistemasida  berilgan
u = p  + zcos
skalyar maydonning gradientini hisoblang.
[>  (6.7)  formuladan  va  silindrik  koordinatalar  sistemasidagi  Lame
kooeffisientlaridan  gradt/ = ep -  ~S'ng>e(0 + cos
  kelib chiqadi.
Ortogonal koordinatalarda vektor chiziqlari
Biror ortogonal  koordinatalar sistemasida  a = a j, + ave, + a j w,  vektor 
maydon  berilgan  boMsin.  Vektor  chiziqlari  shunday  chiziqki,  uning  har 
bir nuqtasida  d?  urinma vektor  d  vektor tnaydonga kolleniar boMadi. 
dr 
= /;' du + /;' dv + rj dw,  r„' =  ru' e, = Hueu,  rv' = H J V, r j = Hwew
munosabatlardan
dr =(Hudu)eu +(Hvdv)ev +(Hwdv)ew
kelib chiqadi.
dr  va  a  vektoming koleniarligidan
Hudu ^ Hvdv _  Hwdw
°v 
a w
(6.9)
(
6
.
10
)
Demak,  a  maydonning  vektor  chiziqlarini  topish  uchun  (6.10) 
differensial tenglamalar sistemasi kelib chiqdi.
2-misol.  Silindrik  koordinatalar  sistemasida  berilgan  a = p
maydonning vektor chiziqlarini toping.