‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

2. Vektor maydon
• Vektor maydon tushunchasL
• Vektor chiziqlarL  Vektor chiziqlarining differensial tenglamasL
2.1.  Vektor maydon tushunchasi
Yaqqol  ko‘zga  tashlanadiga  vektor  maydonlardan  biri  suyiqlikning 
tezliklar  maydonidir.  Fazoning  biror  D  qismida  suyuqlik  harakat 
qilayotgan  bo‘sin.  Ixtiyoriy  MeD  nuqtada 
har  xil  vaqtlarda  ham 
suyuqlik  tezligi  bir  xil  v(M)  boMsin.  Bunday  harakatga  stasionar 
harakatga ega deyiladi.  Aynan olingan bir nuqtada tezlik bir xil  boMgani 
bilan  D  ning  boshqa-boshqa  nuqtalarida  tezliklar  har  xildir.  Shunday 
qilib, D da suyuqlikning tezliklar maydoni berilgan deyiladi.
Agar  uch  oMchovli  fazoda  to‘g‘ri  dekart  koordinatalar  sistemasi 
Oxyz  berilgan  boMsa,  vektor  maydonni  uch  o‘zgaruvchili  vektor 
funksiya  ko‘rinishda  ifodalash  mumkin.  Haqiqatan  ham,  koordinatalar 
yordamida  nuqtani  va  u  yordamida  vektor  maydonni  aniqlash  mumkin. 
Oxy>z koordinatalar sistemasida  7, ], *  vektorlar bazis vektorlar boMsin. U 
holda 
S(M)
  vektor maydonni
a(M)
 = 
ax(x,y,z)J + ay (x, y, z )j + a. (x,y,z)k
21
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

z
M(x,y,z)
ko‘rinishda  ifodalash  mumkin  (2.1  -  
rasm).  Bu  yerda  ax,  ay,  a2  lar  (x,y,z) 
ning  skalyar  funksiyalaridir.  Bu  funk- 
siyalaming M(x,y,z)  nuqtadagi  qiymat- 
lari 
5(M)
  vektorning 
7, 
], 
k
  bazisdagi 
koordinatalaridan iborat bo'ladi.
X
2.1  - rasm
ax,  ay,  a,  laming  har  birini  skalyar 
maydon 
sifatida 
qarash 
mumkin. 
Skalyar maydon kabi  agar vektor may- 
don  vaqtga  bogMiq  bo'lmasa  bunday
maydonlarga  stasionar maydonlar deyiladi.  Agar vektor  maydon  vaqtga 
bog'liq boMsa nostasinar maydon deyiladi.
Agar biror to‘g‘ri  dekart  koordinatalar sistemasi  Oxyz tanlanganda 
vektor maydon  z  ga ( x yoki  v) bogMiq  boMmasa,  bunday  maydon yassi 
maydon  deyiladi.  Bunday  maydonlarda  vektor  xOy  tekislikka  parallel 
boMadi, ya’ni bunday koordinatalar sistemasida  a,(x,y,:)mO  boMadi.
Misol.  Biror  jism  biror  o‘q  atrofida  o'zgarmas 
m
  burchak  tezlik 
bo‘yicha  aylanayotgan  boMsin.  Bu  holda  aylanayotgan  jism  nuqtalari 
tezligi  v(AO = [(5,/:]  ga  teng  boMadi;  <5-  aylanish  o‘qi  bo‘ylab  yo‘nalgan 
vektor,  f -   nuqtaning  radius  vektori.  Shunday  qilib,  vektor  maydon 
vektor argumentli vektor funksiya orqali berilgandir v(r) = [5,f].
Koordinatalar  sistemasini  shunday  tanlaylikki  unda  jismning 
aylanish  o‘qi  Oz o‘qi  bilan  mos  kelsin  va  ® va  t   vektor  yo‘nalishlari 
mos  kelsin.  U  holda  <5 = |®|&  boMadi.  Nuqtaning  radius  vektori 
r
 = 
{x ,y ,z)
. U holda
boMadi.  Demak,  vektor  maydon  yassi  maydon,  chunki  maydonning 
uchinchi  koordinatasi  nolga  teng  va  birinchi  va  ikkinchi  koordinatalar 
esa z  ga bogMiq emas.
Silindrik  koordinatalari  sistemasida Or
a(M)
  vektor  maydon  be- 
rilgan  boMsin.  Agar  vektor  maydon  har  bir  nuqtada  
  ga  bogMiq  boM- 
masa,  o ‘qqa  simmetrik  maydon  deyiladi.  0 ‘qqa  simmetrik  maydonda 
S(M)
  vektor M nuqta va Oz o'qidan o‘tadigan tekislikka parallel boMadi.
Agar berilgan 
a(M)
  vektor  maydon  o‘zining  aniqlanish sohasining 
ixtiyoriy  nuqtasida  uzunligi  faqat  r=OM  masofaga  (O  koordinata 
boshi)  va  yo'nalishi  O  va  M   nuqtalami  tutashtiruvchi  to‘g‘ri  chiziq 
bo‘ylab  yo‘nalgan  boMsa,  bunday  maydon  markaziy  maydon  deyiladi. 
Bunday maydonni
v(x,y)
 = 
[m,r
 ] = 
\a\(x] - y i )
22
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

a(M) = a(r)
 = 
f( r ) r
ko'rinishda ifodalash mumkin (r = |?| = 
om
 ).
Misol.  Fazoda  kuchni  xarakterlovchi  maydon  kuch  maydoni 
deyiladi.  Masalan,  massasi  m0  ga teng  boMgan  material  nuqtaning torti- 
shish  kuchi.  Faraz  qilaylik  bu  nuqta  koordinatalar  boshida  joylashgan 
boMsin. Nyuton qonuniga ko'ra massasi m ga teng M nuqtada joylashgan 
radius vektori  r  boMgan material nuqtaga ta’sir qiluvchi kuch
F(r) = - G ^ r
H
ga  teng  boMadi.  Bu  yerda  G  -   gravitasion  o‘zgarmas.  Bunday  kuch 
maydonning markaziy maydonligi o‘z-o‘zidan ravshan.
Nuqtaviy  elektr  zaryadlarining  o‘zaro  ta'siri  natijasida  hosil 
boMadigan  maydon  ham  markaziy  maydon  boMadi.  Nuqtaviy  zarjad  q0 
koordinata  boshida  joylashgan  boMsin.  Kulon  qonuniga  ko‘ra  radius 
vektori  ?  ga teng bo'lgan q zarjadga ta’sir qiluvchi kuch
?<7o 
=
F(r) =
4
to
0 |rf
ko‘rinishda boMadi.  Bu yerda s0 dielektrik konstanta.