Ўзбeкистон рeспубликаси олий ва щрта махсус таoлим вазирлиги фарғона давлат унивeрситeти

Чизмадан теорема ҳосил қилиш
ADEB трапеция берилган, унинг асослари а ва b га тенг, А ва D бурчаклари – тўғри бурчак, баландлиги a+b га тенг.

А а В

90


b c


C
a
c
90
D b E


C нуқта трапециянинг баландлигини а ва b булакларга бўлсин. С нуқтани В ва Е нуқталар билан туташтириб, СЕ га тенг ВС кесмани с ҳарфи билан белгилаймиз (уларнинг тенглиги АВС ва CDE учбурчакларнинг тенглигидан келиб чиқади).
Трапециянинг юзи:

ифодага тенг.
ВСЕ учбурчак тўғри бурчакли, чунки ACB +  DCE йиғинли тўғри бурчакка тенг, демак  ВСЕ – тўғри бурчак.
Тўғри бурчакни учбурчакнинг юзи унинг катетлари кўпайтмасининг ярмига тенг бўлгани учун, трапециянинг юзи учга тўғри бурчакли учбурчак юзларининг йиғиндиси сифатида

ифодага тенг бўлади.
Трапециянинг юзи учун ҳосил қилинган икки ифодани тенглаштирсак,

келиб чиқади, ёки

ёки

яъни тўғри бурчакли учбурчак катетлари квадратларининг йиғиндиси гипотенузанинг квадратига тенг (учбурчакнинг ҳамма томонлари бир хил ўлчов билан ўлчангли деб фараз қилинади).
Натурал қаторнинг олдинги n та сони квадратларининг йиғиндисини топиш

Бу йиғиндини ҳам чизма ёрдами билан топиш мумкин, лекин бу бошқа хил муҳокамалар ёрдами билан топишга қараганда анча мураккаб.
n сатр ва (2n+1) устундан иборат тўғри тўртбурчак шаклида сонлар жадвали тузамиз. Ҳар бир устунда юқоридан пастга, бирдан бошлаб натурал сонлар қатори тизилади. Ҳар бир устундаги сонлар йиғиндиси

эканини биламиз.

Устунларнинг ҳаммаси 2n+1 та бўлгани учун, ҳамма устундаги сонлар йиғиндиси:

Чизмада кўрсатилганидек, жадвални синиқ чизиқ билан 3 бўллакка бўламиз. Маълумки, синиқ чизиқ тагидаги ўнг ва чап қисмлар бир-бирига тенг.
Жадвалнинг ҳар қайси тўрган сонлар йиғиндисини ҳисоблаймиз.
Синиқ чизиқ тагидаги чапки қисм сонларини сатрлар бўйлаб қарасак, қуйидагиларни кўрамиз:

Демак, жадвалнинг синиқ чизиқ тагидаги чап қисмининг йиғиндиси
.
Жадвалнинг синиқ чизиқ тагидаги ўнг қисмининг йиғиндиси ҳам шунга тенг.
Энди синиқ чизиқ устида тўрган сонлар йиғиндисини топайлик. Уларни I-I; II-II; III-III ва ҳоказо синиқ чизиқлар бўйича қўшамиз.
Натижада:
Ўртадаги устунда 1
I-I синиқ чизиқ бўйича 1 + 2 + 1
II-II синиқ чизиқ бўйича 1 + 2 +3 + 2 + 1
III-III синиқ чизиқ бўйича 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1
.......................................................................................
n-1 синиқ чизиқ бўйича 1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+(n-2)+…+2+1.
2-масалада қуйидагини аниқлаган эдик:

;
шунинг учун юқоридаги жадвалимизни бундай ёзиш мумкин:
Ўртадаги устунда 1²
I-I синиқ чизиқ бўйича 2²
II-II синиқ чизиқ бўйича 3²
III-III синиқ чизиқ бўйича 4²
...........................................................
n-1 синиқ чизиқ бўйича n²
Демак, синиқ чизиқ устидаги ҳамма сонлар йиғиндиси:

қаторга тенг.
Жадвалимизнинг учала қисмининг ҳар биридаги сонлар йиғиндиси бир хил, яъни:

қаторга тенг.
Жадвалдаги ҳамма сонлар йиғиндиси

ифодага тенг эканини юқорида топган эдик; бунинг ўзи

йиғиндининг уч бараваридан иборат. Демак,



Математика ўрганишда натурал қаторнинг исталган n та олдинги сонлари квадратларининг йиғиндисини топишда кўпинча ишлатиладиган формулани ҳосил қилдик.
Мисоллар:


Охирги тенгликни ҳисоблаш йўли билан текшириб кўринг!