Œзбекистон республикаси олий ва œрта

26-маъруза
Функциянинг қавариқлиги, эгилиш нуқталари ва асимптоталари


1⁰. Функциянинг қавариқлиги ва ботиқлиги. Фараз қилайлик, функция да берилган бўлиб, учун бўлсин.
функция графигининг нуқта-ларидан ўтувчи тўғри чизиқни десак, у қуйидагича

бўлади.
1-таъриф. Агар ҳар қандай оралиқ да жойлашган учун

бўлса, функция да ботиқ (қатъий ботиқ) функция дейилади.
2-таъриф. Агар ҳар қандай оралиқ да жойлашган учун

бўлса, функция да қавариқ (қатъий қавариқ) функция дейилади.
Ботиқ ҳамда қавариқ функцияларнинг графиклари 7-чизмада тасвирланган:

7-чизма.

Айтайлик, бўлиб, бўлсин. Функциянинг ботиқлиги ҳамда қавариқлигини қуйидагича таърифлаш ҳам мумкин.
3-таъриф. Агар


бўлса, функция да ботиқ (қатъий ботиқ) дейилади.
4-таъриф. Агар


бўлса, функция да қавариқ (қатъий қавариқ) дейилади.
1-мисол. Ушбу

функция да қатъий ботиқ функция бўлади.
◄ 3-таърифдан фойдаланиб топамиз:


►
1-теорема. Фараз қилайлик, функция да берилган бўлиб, унда ҳосилага эга бўлсин. функциянинг да ботиқ (қатъий ботиқ) бўлиши учун нинг да ўсувчи (қатъий ўсувчи) бўлиши зарур ва етарли.
◄ Зарурлиги. функция да ботиқ бўлсин. У ҳолда учун

бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади. ( дейилди). Кейинги тенгсизликда сўнг да лимитга ўтиб,


бўлишини топамиз. Ундан бўлиши келиб чиқади. Демак, функция (a,b) да ўсувчи.
функция да қатъий ботиқ бўлсин. У ҳолда

бўлади. Лагранж теоремасига мувофиқ


бўлиб, ундан бўлиши келиб чиқади.
Етарлилиги. функция да ўсувчи (қатъий ўсувчи) бўлсин: да
( ).
Лагранж теоремасидан фойдаланиб топамиз:

.
Равшанки, . Демак, бўлиб, юқоридаги муносабатлардан

бўлиши келиб чиқади. Бу эса функциянинг да ботиқ (қатъий ботиқ) эканини билдиради. ►
Худди шунга ўхшаш, қуйидаги теорема ҳам исботланади.
2-теорема. функция да берилган бўлиб, унда ҳосилага эга бўлсин.
функциянинг да қавариқ (қатъий қавариқ) бўлиши учун нинг да камаювчи (қатъий камаювчи) бўлиши зарур ва етарли.
Айтайлик, функция да берилган бўлиб, у шу интервалда ҳосилага эга бўлсин. Бундан ташқари интервалнинг ҳар қандай қисмида айнан нолга тенг бўлмасин.
3-теорема. функция интервалда ботиқ (қавариқ) бўлиши учун да

бўлиши зарур ва етарли.
Бу теореманинг исботи юқоридаги ҳамда функциянинг монотонлиги ҳақидаги теоремалардан келиб чиқади.
2-мисол. Ушбу

функция қавариқ бўлади.
◄Бу функция учун

бўлади. 2-теоремага кўра берилган функция да қатъий қавариқ бўлади. ►