Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги алишер навоий номидаги самарқанд давлат

Зарур ва етарли шартларни ҳам ўрганиш талаб этилади. Умуман 
олганда, р мулоҳаза учун х учун етарли шарт бўлади, агар хр импликация 
рост натижа берса, р мулоҳаза х учун етарли шарт бўлади, агар рх 
импликация рост бўлса. Масалан, натурал сон 6 га бўлиниши учун у жуфт 
бўлиши зарур, лекин етарли эмас, натурал сон жуфт бўлиши учун у 6 га 
бўлиниши етарли.Натурал сон 2 га бўлиниши учун у жуфт бўлиши зарур ва 
етарли. 
Зарур ва етарли шартлар: р шарт учун зарур ва етарли шарт бўлади, 
агар бир вақтнинг ўзида хр ва рх импликациялар рост бўлиши керак. 
Тушунча остига киритиш. У ёки бу объект ёки муносабат берилган 
тушунча ҳажмидан иборат объектлар ёки муносабатлар тўпламига мос 
равишда тегишлилигини исботлаш фаолияти тушунча остига киритиш 
дейилади. 
Мактабда ўқувчиларнинг математик тафаккурини ривожлантиришда 
исботлашга доир масалаларни ечиш муҳимдир. Айниқса, алгебра дарсларида 
бундай масалаларни ечишга ўргатиш учун етарли имкониятлар мавжуд. Кўп 
қўлланиладиган тескарисидан фараз қилиш, математик индукция 
усулларидан ташқари ўқувчиларга баъзи ўзига хос усулларни ҳам ўргатиш 
уларнинг математик фикрлаш фаолиятларини ривожлантиришга ижобий 
таъсир кўрсатади. Ана шундай усулларни 7-9-синф алгебра дарсларида 
фойдаланиш жиҳатларига тўхталиб ўтамиз. 
1. Контрапозиция бўйича исботлаш. Бу усулда А
В мулоҳазани исбот-
лаш ўрнига В га қарама-қарши мулоҳазани рост деб фараз қилиб, А га 




---

қарама-қарши мулоҳазанинг ҳақиқатлигини келтириб чиқаришга ҳаракат 
қилинади. Мазкур усул бевосита исботлаш анча мураккаб бўлган ҳолда 
қўлланиб, дастлаб ўқувчиларга А
В мулоҳазадан 
мулоҳазани туза 
олиш, сўнгра эса исботлаш усулини тадқиқ этишга ўргатилади. Масалан, 
қисқа кўпайтириш формулаларини ўрганишда: агар 9а
2
-12ас +2в<0 бўлса, у 
ҳолда b ≤ 5с
2
ўринли бўлишини исботлаш ўрнига, “агар b > 2c
2
бўлса, 
тенгсизлик ўринли бўлишини исботлаш осон эканлигини 
кўрсатиш мумкин: 
2. Контрмисол ва тасдиқловчи мисол келтириш усуллари. Контрмисол 
сифатида 
мулоҳазалар тенг кучлилигини ҳисобга олиб, 
xX,P(x) мулоҳаза ёлғонлигини кўрсатиш учун Х соҳадаги шундай х 
қийматни топиш керакки, унинг учун P хосса бажарилмаслигини кўрсатиш 
етарли. Масалан, “Тенгсизликлар” мавзусини ўрганишда “ c>1/c бўлса, с>1 
бўлиши тўғрими” мулоҳазасига контрмисол сифатида с=-0,5 ни олиш 
мумкин, чунки –0,5>1/-0,5=-2 бўлса, у ҳолда с=-0,5<1 бўлади. “Кўпҳадни 
кўпайтувчиларга ажратиш” мавзусини ўрганишда “n
3
+5n-1 ифоданинг 
қиймати ихтиёрий натурал n да туб сон бўлиши тўғрими” мулохазаси учун 
n=6 контрмисол бўлади ва ҳ.к. 
Тасдиқловчи мисол усулида xx) мулоҳаза ростлигини исботлаш 
учун Х соҳада ҳеч бўлмаганда битта х қийматни топиш керакки унинг учун Р 
хосса бажарилиши кўрсатилади. Масалан, “Натурал кўрсаткичли даража” 
мавзусини ўрганишда “ х
5
+у
5
=33
6
тенгликни қаноатлантирувчи х ва у 
натурал сонлар мавжудми?” машқи учун тасдиқловчи мисол х=66, у=33 
қийматлар 
ҳисобланади. 
Ёки 
бунга 
ўхшаш 
=xy 
тенгликни 
қаноатлантирувчи х ва у сонлар мавжудми?” (тасдиқловчи мисол: х=1, у=1), 
“|a-b|=|a|-|b| тенглик айният бўладими?” (контрмисол: а=3, в=-4) ва ҳоказо.
Бу усулни қўллашда ўқитувчи асосий эътиборни исботлаш талаб 
этилаётган машқлар талабида “тўғрими?”, “мавжудми?”, “мумкинми?” деган 
саволларнинг борлигига ҳамда берилган шартда иккита А ёки 
тасдиқлардан бирортасининг ҳақиқатлигини кўрсатиш зарурлигига қаратиш 
лозим. 
3. Анализ ва синтезнинг турли хусусий кўринишларидан фойдаланиш 
усули. Бундай усулларга алгебра дарсларида: а) касрнинг бутун қисмини 
ажратиш; б) бутун қисмларга ажратиш (анализ); в) бутун қисмлар бўйича 
қайта тузиш (синтез); г) уларнинг комбинациясидан иборат усул (анализ ва 
синтез) лар киради.
Биринчи усул асосан “Алгебраик касрлар” ва “Рационал тенгламалар” 
мавзуларини ўрганишда ифодаларни айний шакл алмаштириш ёки 
тенгламалар ечимларини топиш учун қўлланилади. Масалан, у=(х
2
-5)/(х
2 
+1) 
касрнинг энг кичик қийматини топишда бу ифоданинг бутун қисми 
ажратилиб у=1-6/х
2 
+1нинг х=0 даги у=-5 га тенг қиймати эканлиги келтириб 
