|
В
А
0
2
12
9
2
b
ac
a
0
)
2
3
(
4
12
9
2
12
9
2
2
2
2
c
a
c
ac
a
b
ac
a
)
(
)
.(
.
)
(
/
х
Р
х
ва
x
P
х
xy
чиқарилади. Бундан кейинчалик функциялар энг кичик ва энг катта
қийматларини топишда, функция қийматлар соҳасини топишда ёки
функциянинг
ўсувчи
ёки
камаювчилигини
исботлашда
ҳам
кенг
қўлланилади. Масалан, у=х/x+1 функциянинг х>-1 да ўсувчи эканлигини
исботлаш учун уни у=1-1/x+1 кўринишга келтириб, исботланади. Иккинчи
усулда ифода қисмларга ажратиб тадқиқ этилади. Масалан, “а
3
+3а
3
+8а ифода
ихтиёрий
натурал
а
да
6
га
бўлинишини
исботлаш
учун
(а
3
+3а
2
+2а)+ва=а(а+1)(а+2)+ва
кўринишга
келтирилиб,
мулоҳаза
исботланади. Учинчи усулда бутуннинг қисмлари қайта тузилиб, янги
кўринишга келтирилади. Масалан, 9х
2
-2ух+6 ифоданинг ҳамма вақт мусбат
эканлигини кўрсатиш учун “тўлиқ квадрат ажратилиб” (3х-4)
2
+47>0 эканлиги
исботланади. Ва ниҳоят, тўртинчи усулда ифода олдин қисмларга ажратилиб,
сўнгра уларни тузиш амалга оширилади. Масалан, а>0, в>0, с>0 бўлса,
ав(а+в-2с)+вс(в+с-2с)+ас(а+с-2в)>0
эканлигини исботлашда
в
2
с-2авс+а
2
с+ав
2
-2авс+ас
2
+а
2
в-2авс+вс
2
=с(в
2
-2ав+а
2
)+а(в
2
-2вс+с
2
)+в(а
2
-
2ас+с
2
)= =с(а-в)
2
+а(в-с)
2
+в(а-с)
2
0
дан фойдаланиш мумкин.
4. Барча хусусий ҳолларни қараб чиқиш усули. Бу усулда мулоҳазага
тегишли барча хусусий ҳоллар қаралиб, қарама-қаршиликка ёки тўғри
мулоҳазага
келиш
амалга
оширилади.
Масалан,
сонларнинг
иррационаллигини исботлашда бўлиниш аломатидан фойдаланиб қуйидаги
масалани ечиш мумкин.
1-масала. А=
- бунда к-бутун сон кўринишидаги соннинг
иррационаллигини исботланг.
Исбот. Ҳар қандай бутун сон 5 га бўлинганда, фақат 0,1,2,3,4 қолдиқлар
бергани учун бутун соннинг квадрати фақат 0,1 ва 4 қолдиқларни беради.
Шунинг учун а ва а
2
нинг туб кўпайтувчилари ёйилмасида қандайдир р
кўпайтувчи тоқ даража билан киради. Лекин а=mn-қисқармас рационал сон
бўлсин, у ҳолда m
2
=a
2
n
2
ва m:p, n:p қарама-қаршилик.
Яна шунга ўхшаш қуйидаги масалани ечишда ҳам бирор хусусий ҳол
қаралиб, кейин қарама-қаршилик ҳосил қилишдан фойдаланилади.
2-масала. 0,12345.. (барча сонлар тартиб билан ёзилган) соннинг
иррационаллигини исботланг.
Исбот. Фараз қилайлик, бу даврий каср даври n та белгидан иборат
бўлсин. Лекин бу касрда қаторасига 2n+1 та нолга жой топилади. Бу
оралиқда бутун бир давр жойлашиши лозим, яъни бутун бир давр
жойлашади, яъни давр ноллардан ташкил топган, лекин бу ундай эмас,
қарама-қаршиликка келдик.
Алгебра дарсларида айниқса тенгсизликларни исботлаш усулларига
ўргатиш муҳимдир. Бунда қуйидаги усулларни қўллашни ўргатиш зарур:
1. Икки сон ўрта арифметиги ва ўрта геометриги орасидаги тенгсизликдан
фойдаланиш
усули,
яъни
тенгсизликдан
фойдаланиб
3
5
k
ab
b
a
2
исботлаш.Аввало ўқувчиларга унинг содда кўринишларини исботлашни
таклиф этиш мумкин:
1.
; 2.
; 3.
;4.
Шундан сўнг, қуйидаги кўринишдаги тенгсизликларни исботлашга ўтиш
мумкин:
Агар
- мусбат сонлар бўлса,
тенгсизлик ўринли бўлишини исботланг.
Буни исботлаш икки марта асосий тенгсизликни қўллаш орқали амалга
оширилади.
2. Ҳарфий ифодани йиғинди ёки айирма шаклида тасвирлаш усули.
Бунда қулай шакл алмаштиришлар ёрдамида ифодани ҳадларини 1 ёки 0
билан осон таққослаш мумкин бўлган кўринишга келтирилади.
Мисол. х ихтиёрий сон бўлганда
тенгсизликни исботлашда унинг биринчи ва тўртинчи, иккинчи ва учинчи
ҳадларни алоҳида кўпайтириб, тенгсизликнинг
исботини олиш мумкин.
3. Ҳарфий ифодаларни кўпайтувчиларга ажратиш усули, бунда агар
ўсувчи функция ва а, в бу функция аниқланиш соҳасига тегишли сонлар
бўлса, у ҳолда (
тенгсизлик ўринли бўлишидан
фойдаланилади. Масалан, мусбат х ва у сонлар учун
тенгсизликни исботлашда
белгилашларни киритиб, юқоридаги
қоидадан фойдаланамиз.
4. Даражани ўз ичига олган сонли ифодаларни айний шакл алмаштириш
усули, бу асосан даражага боғлиқ ифодаларни катта ёки кичиклигини
аниқлашга доир масалаларни ечишда қўлланилади. Бунга доир қуйидаги
машқлардан фойдаланиш мумкин:
Таққосланг: қайси катта 7
92
ми ёки 8
91
, 2
40
ми ёки 3
37
?
5. Математик индукция принципи асосида исботлаш усули натурал
сонлар ва уларнинг йигиндилари билан боғлиқ кўп тенгсизликларни
исботлашда қўлланилади.Бунда ўқувчиларга ҳар бир қадамнинг асосланиши
ҳамда унинг турли хил кўринишларини ҳисобга олган ҳолда исботлашга
ўргатиш мақсадга мувофиқ.
Масалан, агар иккита натурал сонлар кетма-кетлиги берилган бўлиб,
бирор натурал сон m учун
ўринли бўлиб, барча
лар учун
бўлса, у ҳолда барча n>m лар учун
ўринлилигидан
x
x
2
1
2
1
x
x
xy
y
x
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
2
y
x
y
x
z
y
x
,
,
)
(
4
4
4
z
y
x
xyz
z
y
x
1
)
3
)(
2
)(
1
(
x
x
x
x
1
1
)
1
3
(
2
2
x
x
0
))
(
)
(
)(
(
b
f
a
f
b
a
2
6
2
6
4
4
x
y
y
x
y
x
b
y
a
x
2
2
,
m
m
b
a
m
k
k
k
k
k
b
b
a
a
1
1
n
n
b
a
фойдаланиб, тенгсизликларни исботлаш мумкин . Масалан, n
да
тенгсизликни шу усул билан исбот-лаш мумкин.
Худди шунга ўхшаш , бирор натурал сон m учун
ўринли
бўлиб, барча
лар учун
бўлса, у ҳолда барча n>m лар
учун
ўринли бўлишидан эса 1) n
да
; 2)
(n
;
3)
тенгсизликларни исботлаш имконияти вужудга келади.
Шундай қилиб, мактабда алгебра дарсларида ўқувчиларга исботлаш
усулларини ўргатишда хар хил усуллар тадбиқларини мисолларни муҳокама
қилиш орқали амалга оширилиши яхши натижалар беради. Бунда
университетлар талабаларини услубий тайёргарлигини амалга оширишда ҳам
бунга алохида эътибор бериш талаб этилади ва амалий машғулотларда ҳамда
педагогик амалиётда қўллаш усулларига бўлажак ўқитувчиларни ўргатиб
бориш мақсадга мувофиқ.
Do'stlaringiz bilan baham: |
