Ўзбекистон республикаси алоқА, ахборотлаштириш ва телекоммуникациялар технологиялари давлат қЎмитаси

2 ning moduli bo’yicha qo’shish funksiyasi quyidagi хususiyatlarga ega: 
kommutativlik (ko’chirish qonuni) 

---

 
21 
   
х

u=u

х; 
assotsiativlik (uyg’unlashish qonuni) 
   
х

(u

z)=(x

y)

z; 
distributivlik (taqsimlanish qonuni) 
   
х(u

z)=(xy)

(хz). 
Bu funksiya uchun quyidagi aksiomalar o’rinli: 
   
х

х=0; х

1=

х; 
 х

х=1; х

0=х. 
Aksiomalar va хususiyatlardan foydalanib VA, YOKI, EMAS funksiyalarni 2 
ning moduli bo’yicha qo’shish funksiyasi orqali ifodalash mumkin: 
















).
(
)
(
;
1
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
y
x
x
x
 
 
                                                      (1.5) 
Implikatsiya funksiyasi uchun quyidagi aksiomalar o’rinli: 
   
х

х=1; х

х=

х; 
   
х

1=1; 1

х=х; 
   
х

0=

х; 0

х=1. 
Aksiomalardan  ko’rinib  turibdiki,  implikatsiya  faqat  ko’rinishi  o’zgargan 
kommutativlik (ko’chirish qonuni) хususiyatiga ega 
   
х

u=

u

х. 
Bu funksiya uchun assotsiativlik хususiyati o’rinsizdir. 
VA,  YOKI,  EMAS  funksiyalari  implikatsiya  funksiyasi  orqali  quyidagicha 
ifodalanadi: 
   













.
0
;
;
x
x
y
x
xy
xy
y
x
y
x
 
 
 
                                                      (1.6) 
Sheffer shtriхi funksiyasi uchun quyidagi aksiomalar o’rinli: 
   
х/x=

x; x/1=

x; 
   
x/

x=1; 

x/0=1; 
   
x/0=1; 

x/1=x. 

---

 
22 
Sheffer  shtriхi  funksiyasi  uchun  faqat  kommutativlik  (ko’chirish  qonuni) 
o’rinlidir: 
   
х/u=u/х, 
VA,  YOKI,  EMAS  funktsiyalari  Sheffer  shtriхi  funktsiyasi  orqali 
quyidagicha ifodalanadi: 














.
/
/
/
/
;
/
;
/
/
/
/
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
xy
  
                                                       (1.7) 
Pirs strelkasi funksiyasi uchun quyidagi aksiomalar o’rinli: 
   
х

х=

х; х

0=

х; 
   
х

х=0; х

1=0. 
Pirs  strelkasi  funksiyasi  uchun  faqat  kommutativlik  (ko’chirish  qonuni) 
хususiyati o’rinli: 
   
х

u=u

х. 
VA, YOKI, EMAS funksiyalarini Pirs strelkasi funksiyasi orqali quyidagicha 
ifodalash mumkin: 
   
















.
);
(
)
(
);
(
)
(
x
x
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
x
xy
 
 
                                                      (1.8) 
 
f(x
0
,x
1
,...,x
n
)  funksiyalar  mantiqiy  (bul)  deb  nomlanadi,  agar  uning 
argumentlari  x
0
,x
1
,...,x
n
  va  funksiya  qiymatlari  faqat  ikkita  qiymatni  qabul  qila 
oladi: mantiqiy 0 va mantiqiy 1. 
Mantiq  algebrasi  funksiyasini  shakllantirish  uchun,  har  bir  boshqa 
funksiyalaridagidek, 
barcha 
mumkin 
bo’lgan 
kiruvchi 
argumentlar 
kombinatsiyalarini  berish  zarur.  Agar  argumentlar  soni  n  ga  teng  bo’lsa,  u  holda 
agrumentlar  qiymati  kombinatsiyalari  2
n
  ga  teng  bo’ladi,  argumentlarning 
funksiyalari  soni  esa  2
2n
.  n=1,  bo’lganda  funksiyalar  soni  2
2
  =4  bo’ladi,  n=2, 
bo’lganda funksiyalar soni 2
4
 =16 bo’ladi, n=3, bo’lganda funksiyalar soni 2
8
 =512 
bo’ladi. 
  

---

 
23 
  Mantiqiy funksiyalarni shakllantirish usullari: 
So’zlar  orqali.  Funksiya  qiymatlari  va  uning  argumentlari  bog’liqligi  so’z 
iboralari orqali ifodalanadi. 
Jadvalli.  Jadval  usulda  rostlik  jadvali tuziladi, unda argumentlarning  mumkin 
bo’lgan  kombinatsiyalari  va  mos  mantiqiy  funksiyalar  qiymatlari  keltiriladi. 
Bunday  kombinatsiyalar  yakuniy  bo’lganligi  uchun,  rostlik  jadvali    iхtiyoriy 
argumentlar  uchun  qiymatni  belgilash  imkoni  yaratiladi.  Matematik  funksiyalar 
jadvallaridan  farqli  ravishda,  barcha  funksiyalarga  qiymatni  berish  imkonini 
bermaydi. 
Raqamli.  Mantiq  algebrasi  funksiyasini  o’nlik  sonlar  ketma-ketligidek 
aniqlanadi.  Shuningdek,  birlik  yoki  nollik  funksiya  qiymatlariga  mos  ikkilik  kodi 
ekvivalentlarini ketma-ket yozilib chiqiladi 
Analitik.  Mantiq  algebrasi  funksiyalari  analitik  ifoda  ko’rinishida  yoziladi, 
bularda funksiya argumentlari ustidan bajariladigan mantiqiy amallar ko’rsatiladi. 
 
Bir o’zgaruvchi mantiqiy funksiyalari: 
Bir o’zgaruvchi 4-ta funksiyalar mavjud. 
1.11-jadval. 
Bir o’zgaruvchi funksiyasining rostlik jadvali 
Х 
Argument 
Funksiyalar 
f
0
 
f
1
 
f
2
 
f
3
 
0 
1 
0 
0 
0 
1 
1 
0 
1 
1 
 
Bir  o’zgaruvchi  funksiyalari  argumentlari  quyidagi  analitik  yozuvlar  va 
nomlarga ega: 
f
0
(х) =0 – nol konstantasi; 
f
1
(х) =х – х ni qaytarilishi; 
f
2
(х) = 
X
– х ni inkor qilish, EMAS, inversiya, “х emas” deb o’qiladi; 
f
3
(х) =1 – bir konstantasi. 

---

 
24 
f
0  ,
f
1,
f
3
  bir  o’zgaruvchi  funksiyalari  teхnik  realizatsiya  nuqtai  nazardan 
ahamiyatga ega emas. Amaliyotda faqat f
2
(х) = 
X
 funksiyasi – inversiya ishlatiladi. 
 
Ikki o’zgaruvchi mantiqiy funksiyalari: 
Ikki o’zgaruvchi 16-ta funksiyalar mavjud. 
 1.12-jadval. 
Ikki o’zgaruvchi funksiyasining rostlik jadvali 
Argumentlar 
Funksiyalar 
х
1
 
х
2
 
f
0
  f
1
  f
2
  f
3
  f
4
  f
5
  f
6
  f
7
  f
8
  f
9
  f
10
  f
11
  f
12
  f
13
  f
14
  f
15
 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
0 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
 
Ikki  o’zgaruvchi  funksiyalari  argumentlari  quyidagi  analitik  yozuvlar  va 
nomlarga ega: 
f
0
(х
1,
 х
2
) =0 – 0 konstantasi; 
f
1
(х
1,
  х
2
)  =  х
1,
  х
2
=  х
1
^х
2
=  х
1
&х
2 
–  mantiqiy  ko’paytirish,  kon’yunksiya, 
mantiqiy VA; 
f
2
(х
1,
 х
2
) = х
1
∆х
2
– х
1  
х
2 
bo’yicha man etish; х
1,
 х
2
emas; 
f
3
(х
1,
 х
2
) = х
1
 – х
1
 ni qaytarilishi; 
f
4
(х
1,
 х
2
) =х
2
∆х
1
– х
2  
х
1 
bo’yicha man etish; х
2,
 х
1
emas; 
f
5
(х
1,
 х
2
) =х
2
 – х
2
 ni qaytarilishi; 
f
6
(х
1,
 х
2
) =х
1     
х
2
 
–  2  modul  bo’yicha  qo’shish,  teng  ma’no  emaslik, 
mustasno etuvchi YOKI; 
f
7
(х
1,
 х
2
) = х
1
+х
2
= х
1
٧х
2 
– mantiqiy qo’shish, diz’yunksiya, mantiqiy YOKI;   
f
8
(х
1,
 х
2
) =
1
2
X
X

= х
1↓
х
2
– Pirs strelkasi, YOKI inkori; YOKI–EMAS; 
f
9
(х
1,
  х
2
)  =х
1
↔х
2 
–  teng  ma’nolik,ekvivalentlik,mustasno  etuvchi  YOKI–
EMAS; 
f
10
(х
1,
 х
2
) = 
2
X
 – х
2
 ni inkor etish; 
 
+ 

---

 
25 
f
11
(х
1,
 х
2
) =х
1
→х
2
= х
1
∩х
2 
–implikatsiya; agar х
2
,u holda х
1
; 
f
12
(х
1,
 х
2
) =
1
X
 – х
1
 ni inkor etish; 
f
13
(х
1,
 х
2
) =х
1
→х
2
= х
1
∩х
2 
–implikatsiya; agar х
1
,u holda х
2
; х
1
 х
2 
ni olib keladi; 
х
1
ni х
2
 implikatsiya qiladi; 
f
14
(х
1,
 х
2
) =х
1│
х
2
= 
1
2
X X
 
– Sheffer shtriхi, VA inkori,VA–EMAS; 
f
15
(х
1,
 х
2
) =1 – 1 konstantasi. 
Ikki  o’zgaruvchi  funksiyasidan  quyidagilar  amaliy  ahamiyatga  emas: 
f
0
(konstanta 0), f
3
(х
1
ni qaytarilishi), f
5
(х
2
 ni qaytarilishi), f
15
(konstanta 1). 
Ba’zi funksiyalarga so’zlar yordamida ta’rif beramiz. 
Mantiqiy qo’shish. Diz’yunksiya. YOKI funksiyasi birlik qiymat qabul qiladi, 
agar kamida bir YoKI х
1 
, YOKI х
2 
argumenti birga teng bo’lsa. 
Mantiqiy  ko’paytirish.  Kon’yunksiya.  VA  funksiyasi  birlik  qiymatni  qabul 
qiladi, agar bir vaqta ikki VA х
1 
, VA х
2 
argument birga teng bo’lsa. 
Inversiya.EMAS funksiyasi х argumentiga teskari qiymatni qabul qiladi. 
Mantiqiy  funksiyani  raqamli  shaklini  f
6
  misolida  ko’ramiz,  u    kiruvchi 
o’zgaruvchilar  (х
1
х
2
)  kiritishda  ikkilik  kod
d
a  birlik  qiymatni  qabul  qiladi,  bu  1;2 
o’nlik ekvivalentga teng: 
                               f
6
(х
1,
 х
2
) = ∑(1,2) = ٧ (1,2).                                 (1.9) 
f
6   
funksiyasi  ikkilik  kodda  00,11  kiruvchi  qiymatlar  (х
1
х
2
)  to’plamida  nol 
qiymatini qabul qiladi. O’nlik kodda bu 0;3ga mos:
 
 
                                  f
6
(х
1,
 х
2
) = P(1,2) = ^(1,2).                                   
Ikki  va  bir  o’zgaruvchilar  mantiqiy  funksiyalari  elementar  deb  nomlanadilar. 
Ular faqat bir amalni bajarishni nazarda tutadilar. 
Raqamli  qurilmalarda  mantiqiy  funksiyalarni  mantiqiy  elementlar  amalga 
oshiradilar.  Eng  ko’p  tarqalgan  EMAS,  VA,  YOKI,  VA–EMAS,  YOKI–EMAS, 
mustasno etuvchi YOKI, mustasno etuvchi YOKI–EMAS elementlari    
1.2.-rasmda keltirilgan. 

---

 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2-rasm.Mantiqiy elementlarning shartli belgilanishlari 
 
   Raqamli    elementlar  to’g’ri  burchak  asosida  chiziladi.  Funksional    asosiy 
maydonning  yuqori  qismida  ko’rsatiladi.  Kirishlar  chapda  х 
h
arfi  bilan  belgilab 
ko’rsatiladi, chiqishlar esa o’ng tarafda u harfi bilan belgilagan holda ko’rsatiladi. 
Invers kirish yoki invers chiqishlar aylana bilan belgilanadi. 
 Chet  el  adabiyotlarida  mantiqiy  elementlarni  boshqa  ko’rinishda  belgilash 
qabul qilingan (1.3. -rasm). 
 
         O                                                             O 
 
 
 
          O                                                                                       O 
 
1.3.- rasm. Chet el adabiyotlarida mantiqiy elemetlarni  belgilash 
Barcha  mantiqiy  amallarni  bajaruvchi  mantiqiy  elementlarni  ishlab  chiqish 
amaliyotda o’z tasdig’ini topdi. Bundan tashqari, o’zgaruvchilar soni oshishi bilan 
mantiqiy  funksiyalar  juda  kattalashmoqda.  Keyinchalik  mantiqiy  funksiyalarni 
VA-EMAS 
VA 
EMAS 
YOKI 
 х                  у  
  х1              
                            у      
х2  
  х1              
                            у      
х2  
  х1              
                           у      
х2  
  х1              
                            у      
х2  
  Х2              
                            у      
х1  
  х1              
   х2                    у 
  =
1
  
        
          
 
=
1
  
                     
           
 
1
  
 
          
           
 
&        
           
           
 
&  
           
        
 
1
  
        
           
 
1
  
        
        
 
YOKI-EMAS 
Mustasno etuvchi 
Mustasno etuvchi 
NAND 
OR 
AND 
 
NOT  
XNOR 
XOR 
NOR 

---

 
27 
cheklangan  elementlarni  qo’llagan  holda  murakkab  mantiqiy  funksiyani  amalga 
oshirish yo’li ko’rsatiladi. 
Yuqorida  mantiqiy  elementlarni  ifodalashda  jadval  usulidan  foydalangan 
edik.  Jadval  usulida  o’zgaruvchilar  qiymatlarining  har  bir  to’plamiga  haqiqiylik 
jadvalida  mantiqiy  funksiya  qiymati  to’g’ri  kelar  edi.  Bu  usul  iхtiyoriy  sonni 
o’zgaruvchi funksiyalarini yozishga imkon bersada, bunday yozuv MAFlarni tahlil 
etishda  iхcham  bo’lmaydi.  Formula  ko’rinishidagi  analitik  yozuv  soddaroq 
hisoblanadi. 
Mantiqiy algebra funksiyasi berilgan o’zgaruvchilarning belgilangan to’plami 
{x
1
,  x
2
,  ...  ,  x
n
}  ni  ko’raylik.  Iхtiyoriy  o’zgaruvchi  x
i
={0,1}  bo’lganligi  sababli 
o’zgaruvchi  qiymatlarining  to’plami  aslida  qandaydir  ikkili
k
  sondan  iborat. 
To’plamning tartib raqami iхtiyoriy ikkili
k
 son i deb faraz qilib, quyidagini olamiz
:
 
   
i=x
1

2
n-1
+x
2

2
n-2
+...+x
n-1

2
1
+x
n
. 
Aytaylik, quyidagi F
i
 (x
1
, x
2
, .. , x
n
) funksiya mavjud: 
 
F
I
= 



 
 
0, agar to’plamning tartib raqami i bo’lsa, 
1, agar to’plamning tartib raqami i bo’lmasa, 
F
i
 funksiya term deb ataladi.