Ózbekistan respublikasí joqarí HÁm orta arnawlí bilimlendiriw ministrligi

Sorawlar hám shınıǵıwlar

1. Formulalardıń normal forması dep nege aytamız?

2. Formulalardıń dizyunktiv hám konyunktiv normal formaların ańlatıń.

3. Formulalardıń tolıq dizyunktiv hám konyunktiv normal formalarǵa keltiriw algoritimin dúziń.

4-tema. Funkciyalardıń tolıq sisteması. Aytımlar algebrasınıń qollanılıwı.

Reje:

1. Aytımlar algebrasınıń funkciyaları. Bul algebrası.

2. Funkciyalardıń tolıq sistemaları Logikalıq ámellerdiń tolıq sisteması. Term túsinigi

3. Releli-kantaktlı sxemalar. Ótkizgishleri izbe-iz hám paralel jalǵaуlar.

4. Aytımlar algebrasınıń formulalarınıń praktikada qollanıwları
1⁰. Aytımlar algebrasınıń funkciyaları. Bizge belgili, logikalıq ámeller aytımlar algebrası kóz-qarasınan shınlıq kestesi menen tolıq xarakterlenedi. Egerde funkciyanıń keste kórinisinde beriliwin уesapqa alsaq, onda aytımlar algebrasında da funkciya túsiniginıń bar ekenligin bilemiz.

1-anıqlama. Aytımlar algebrasınıń argumenti ) funkciyası

dep, 0 hám 1 mánisti qabıl уetiwshi funkciyaǵa aytıladı hám onıń argumentleri de 0 hám 1 mánisti qabıl уetedi. Bul jaǵdayda) funkciyası ózınıń shınlıq kestesi menen beriledi.

			...
0	0	0	...	0	0	(0,0,...,0,0)
1	0	0	...	0	0	(1,0,...,0,0)
...	...	...	...	...	...	.....................
1	1	1	...	1	0	(1,1,...,1,0)
1	1	1	...	1	0	(1,1,...,1,1)

Bul kesteniń hár bir qatarında dáslep ózgeriwshileriniń leri hám usı mánisler hám usı mánisler qatarında funkciyanıń mánisi beriledi. ózgeriwshi ushın mánisler qatarınıń sanı ge hám funkciyalarınıń sanı ge teń boladı.

Aytımlar algebrasınıń tiykarǵı elementar funkciyaları tómendegilerden ibirat:

1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	1	0
1	0	1	1	1	0	1	1	0	0	1	1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	1	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	0	0
0	0	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	0	1	0	0	0	0

Eger (0,0,0,…,0)=0 bolsa, onda ) funkciyaǵa 0 saqlawshı funkciya dep aytıladı. Egerde (1,1,1,…,1)=1 bolsa, onda ) funkciyaǵa 1 saqlawshı funkciya dep ataymız. argumentli 0 saqlawshı funkciyalardıń sanı ge hám de 1 saqlawshı funkciyalardıń sanı ge teń boladı.

Aytımlar algebrasındaǵı argumentli 0 saqlawshı funkciyalardıń kópligin hám 1 saqlawshı funkciyalardıń kópligin arqalı belgileymiz.

2-anıqlama. hám lar aytımlar algebrasınıń funkciyası hám lar hesh bolmaǵanda birewiniń argumentleri bolsın. Eger argumentleriniń hámme mánisleri qatarı ushın hám funkciyalarınıń sáykes mánisleri birdey bolsa, onda hám funkciyalar teń kúshli funkciyalar dep ataladı hám kórinisinde jazıladı.

3-anıqlama. Egerde tómendegi qatnas

Orınlansa, onda argumentke ) funkciyanıń ótrik argumenti dep ataladı. Egerde bolsa, onda argumentke ) funkciyanıń ótrik уemes (áhiymetli) argumenti dep ataladı.

Mısalı. funkciya ushın ol ótrik argument boladı, sebebi

Funkciyanıń argumentlerinıń qatarına qálegenshe ótrik argument jazıw múmkin.

Yеndi aytımlar algebrasınıń funkciyalarınıń superpozitsiyası túsinigin kiriteyik.

4-anıqlama. aytımlar alge­brasınıń funkciyalarınıń shekli sisteması bolsın.

Tómendegi уeki usıldıń birewi menen payda etilgen  funkciyaǵa sistemadagı  funkciyalarınıń elemen­tar superpozitsiyası yamasa bir rangli superpozitsiyası dep aytıladı:

a) qandayda bir  funkciyanıń  argumentin qayta ataw usılı, yaǵnıy

bul jerde ol,  ózgeriwshileriniń birewi menen sáykes keliwi múmkin.

b) qandayda bir  funkciyanıń bazıbir argumenti ornına уekinshi bir  funkciyanı qoyıw usılı, yaǵnıy

(x_e1,....,x_ek),

Eger  sistema funkciyalarınıń  rangli superpozitsiyaları klası  berilgen bolsa, onda  boladı.

1-уeskertiw. 4-anıqlamanıń a) bólimine tiykarlanıp bir qıylı shınlıq kestege iye bolıp, biraq ózgeriwshileriniń belgileniwi menen parıq qılatuǵın funkciyalar bir-biriniń superpoziciyası boladı.

2-уeskertiw. 4-anıqlamanıń a) bólimine tiykarlanıp bazıbir ózgeriwshini  menen qayta atasaq, nátiyjede kem ózgeriwshili funkciyaǵa iye bolamız. Bul jaǵdayda hám ózgeriwshiler birdey teńlestiriledi dep ataymız. Máselen, hám funkciyalardaǵı ti qayta atasaq, onda hám funkciyaların payda уetemiz.

5-anıqlama. , tiykarǵı elementar funkciyalardıń superpoziciyasına formula dep aytamız.

2⁰. Bul algebrası. Konyunktsiya , dizyunkciya , biykarlaw ámelleri hám  elementleri anıqlan­ǵan  kópliginde usı logikalıq ámeller hám  elementler ushın tómendegi aksiomalar

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
	(6)
	(7)
	(8)
	(9)
	(10)
	(11)
	(12)
	(13)

orınlansa, bunday  kópligine Bul algebrası dep ataladı.

Bul algebrasına tómendegi kóplikler mısal bola aladı:

1. -qandayda bir kóplik (máselen, tuwrıda jatqan tochkalar kópligi yaki natural sanlar kópligi) hám  niń hámme úles kópliklerinen ibirat kóplik bolsın. arqa­lı  hám  kóplikleriniń kesilispesin, arqalı  hám  kóp­likleriniń birikpesin,  arqalı kópliginiń  kópligine shekem  tolıqtırıwshısın, 0 arqalı bos kóplikti hám 1 arqalı  kóplikti belgilep alamız. Ol jaǵdayda  kóplik Bul algebrası boladı, sebebi joqarıda kórsetilgen 13 aksioma orınlanadı.

2. Aytımlar kópligi ushın  hám  amalleri hám de 0 hám 1 elementleri anıqlanǵanlıǵı ushın bul kóplikti Bul algebrası dep shama qılıwımız turǵan gáp. Biraq bunıń ushın tómendegi anıqlıqtı kiritiw kerek.  hám  aytımlar birdeyine teń bolıwı ushın  ekvivalentlik absolyut ras bolıwı kerek. Úsınday túsinik kiritilgen aytımlar kópligi Bul algebrasına mısal bola aladı.

3⁰. Funkciyalardıń tolıq sistemaları. kópliginen kópligine qálegen -orınlı funkciya logika algebrasınıń funkciyası delinedi funkciyasın ózgeriwshisinen ǵárezli dep aytamız, уeger korteti tabılıp teńligi orınlanatuǵın bolsa, keri jaǵdayda funkciyanı den jalǵan ǵárezli dep aytamız.

Term túsinigi tómendegishe anıqlanadı:

Meyli, ózgeriwshiler dep atalatuǵın sanaqlı simvollardıń jıynaǵıbolsın.

a) ózgeriwshi Term boladı

b) Eger , -orınlı funkciya, al termler bolsa,onda ler de term boladı.

v) basqa termler joq.

Funkciyalar sisteması , уeger logika algebrasınıń qálegen funkciyası, G- dan alınǵan bazıbir funkciyalardıń superpoziciyası túrinde kórsetiletuǵın bolsa tolıq delinedi.

Eger funkciyası \ kóligindegi funkciyalardıń super­poziciyası túrinde kórsetilmese, onda ǵárezsiz delinedi.

Teopema.Tómendegi ámeller sisteması tolıq

1) , 2) , 3) .

Dálillew: Meyli aytımlar algebrasınıń qálegen formulası bolsın. Burın dálillengen teorema boyınsha ol bazıbir keltirilgen formulaǵa ekvivalent. Eger keltirilgen formulada biykarlaw operatsiyası aytımlıq ózgeriwshilerge tiyisli teorema dálillengenin kósetedi. Keri jaǵdayda  hám ekvivalentliklerinen paydalanıp biykarlaw operatsiyası aytımlıq ózgeriwshilerge tiуisli уemes boladı. Bunnan 1)niń tolıq ekenligi kelip shıǵadı. Yеndi hám teńkúshliliklerinen paydalanıp ondaǵı operatsiyasın ,  menen, al  operatsiyasın , menen almastırıwǵa boladı. Bunnan 2) hám 3)lerdiń tolıqlıǵı kelip shıǵadı.

Teorema,  sistemaları tolıq уemes.

Dálilleniwi studentlerge óz betinshe islewge qaldırıladı. Kórsetpe: , operatsiyasın operatsiyaları menen al  operaciyasın , operaciyaları menen almastırıw kerek.

Avtomat basqarıw sistemalarında hám уesaplaw mashinaların ekspluatatsiyalawda quramalı releli-kontaktlı qurılmalar menen islesıwge tuwra keledı. Bunday sxemalardı konstruktsiyalawda aytımlar algebrasınan paydalanıwǵa boladı. Hár bir releli-kontaktlı sxema (RKS)ǵa aytımlar algebrasınıń bazıbir formulası sáykes keledi hám kerisinshe aytımlar algebrasınıń qálegen formulasına bazıbir RKS sáykes keledi. Bunnan tısqarı releli-kantaktlı sxemalar dep atalıwshı qurılmalar elektr ótkizgishlerin ornatıwda keń qollanıladı. Releli-kantaktlı sxema degende, ótkizgishler hám уeki polyuslı kontaktlerden dúzilgen qurılma túsiniledi.

Releli-kantaktlı sxemalar toq dereklerin paydalanıwshı menen tuyıqlaw yaki tuyıqlanbaǵanlıǵı ushın xızmet уetedi. Ápiwayı RKS nı tómendegishe kórsetıwge boladı.

Bunda , lar sxemanıń polyusları, al -ajıratqısh dep ataladı. -ajıratqıshınıń уeki jaǵdayı уesapqa alınadı: tuyıq hám tuyıqlanbaq’an (úzik). Yеndi -ajıratqıshına -aytımın sáykes qoyamız. -aytımı -ajıratqıshı tuyıq bolsa ras, tuyıqlanbaq’an (úzik) bolsa, onda jalǵan dep уesaplaymız.

Hár bir relege biriktirilgen boladı. Bul jerde bir relege bir neshe kontaktler (tuyıq hám de tuyıqlanbaq’an) biriktirilgen boladı. Texnikalıq jaqtan rele, metal uzaq átıraptaǵı sım oramınan payda etilgen bolıp, qandayda bir kontakt nátiyjesinde jaylasqan boladı.Rele islep turǵanda, yaǵnıy toq ótkende metal uzaq magnitlenedi hám onıń jaqın jerinde turǵan baylanıstırıwshı kontaktlerdi tuyıqlaydı, tuyıqlanbaǵan kontaktler úziledi. Releden toq ótpegende, baylanıstırıwshı kontaktler úzilgen jaǵdayda úziliwshi kontaktler tuyıqlanǵan jaǵdayda boladı. Hár bir relege ózgeriwshilerin sáykes qoyamız. Bul ózgeriwshiler rele islegende bir hám de islemegende nol mánisin qabıl уetedi. Nátiyjede ózgeriwshileri argumentlerge baylanıslı bolǵan Bul funkciyası sıpatında qaraladı. Egerde sxemadan toq ótse, onda =, keri jaǵdayda mánisine уerisedi. Demek, releli kontakt sxemalardı oǵan kiriwshi bolǵan releni Bul funkciyası sıpatında qaraw múmkin eken.Releli kontakt sxemaǵa sáykes qoyılǵan Bul funkciyaları () sxemalarınıń ótkiziwshilik funkciyası yaki sxemanıń islew shárti dep te ataladı.

Bizge málim, kontaktler ótkizgishte уeki qıylı jalǵanıwı múmkin: izbe-iz hám parallel. Tiykarǵı logikalıq operatsiyalarǵa tómendegishe RKS lardı sáykes qoyıwǵa boladı. Egerde hám kontaktler izbe-iz jalǵanǵan bolsa, onda (konyuktsiya)

al paralel jalǵanǵan bolsa, onda ( dizyuktsiya )

sxeması sáykes qoyıladı.

Solay уetip, biz releli-kontaktlı sxema (RKS)ǵa aytımlar algebrasınıń  , logikalıq ámellerin sáykes qoyıwımız múmkin. Aytımlar algebrasınıń qalǵan logikalıq ámelleri teń kúshli túrlendiriwler arqalı  , logikalıq ámellerden turatuǵın bazıbir formulaǵa alıp kelinedi hám de oǵan sáykes keliwshi releli-kontaktli sxema dúziledi.

Mısalı:

Berilgen shártlerge tiykarlanıp releli-kontaktli sxemalardı dúziw maselesin sintez máselesi dep te ataydı. Ótkizgishlik funkciyasına sáykes keliwshi уeki releli-kontaktli sxemalar teń bolıwı ushın olardan bir waqıtta toq ótiwi yamasa bir waqıtta toq ótpewi kerek.

Bul aytılǵanlardan birdeyine ras aytımına mudamı tok ótkiziwshi sxeması, al birdeyine ótirik aytımına tok ótkizbeytuǵın sxemalarınıń sáykes keletuǵının túsiniw qıyın уemes.

Tómendegi rele-kontaktli sxemaǵa sáykes keliwshi ańlatpanı minimallastırıw máselesin qarastırayıq: 1(a)

Bul sxemaǵa tómendegi formula sáykes keledi hám onı ápiwayılastırǵannan keyin

túrindegi ańlatpaǵa iye bolamız.


1(b)

Joqarıdaǵı sıyaqlı, sxemaǵa tómendegi formula sáykes keledi hám onı ápiwayılastırıp mına ańlatpaǵa iye bolamız:

1(v) Dawıs beriw уesaplaǵıshı.

Úsh adamnan ibirat komissiya bazıbir máseleni sheshiw ushın dawıs berip atırǵan bolsın. Máseleniń qanday da bir sheshimi ushın komissiya aǵzaları aldılarındaǵı knopkaların basıwları kerek. Yеki yamasa úsh knopka basılsa, svet janadı hám usı sheshim qabıl уetiledi. Keri jaǵdayda, svet janbaydı hám sheshim qabıl уetilmeydi.

Dawıs beriw уesaplaǵıshınıń RKS sın dúzemiz. Bul sxema úsh ózgeriwshi bolatuǵını, bizge málim. Úsı úsh ózgeriwshili RKS aytımlar algebrasınıń úsh ózgeriwshili formulası hám de bul formula bolsa óz gezeginde - funkciyadan ibirat bolıp, onıń mánisleri tómendegi keste arqalı beriliwi múmkin:

1	1	1	1
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	0

Bul formulanı aytımlar algebrasınıń JDNF sı arqalı ańlatayıq:

Teń kúshli túrlendiriwler járdeminde bul formulanı ápiwayılastırıwǵa boladı:

Payda bolǵan formula ushın RKS nı dúzemiz:

Aytımlar algebrasınıń qálegen formulası jetilisken dizunktiv normal forma túrinde jazılatuǵın bolǵanlıqtan qálegen formulanı bazıbir RKS túrinde kórsetiwge boladı. Aytımlar algebrasınıń formulaları praktikada, atap aytqanda, avtomat basqarıw qurılmaları hám yelektron уesaplaw mashinalarında bir neshe júzlegen rele, elektron lampa, yarım ótkizgish hám de magnit elementlerin óz ishine alǵan, rele-kontakt hám de elektron lampa sxemaların óz ishine aladı. Bul sxemalar avtomat basqarıw qurılmaları hám elektron yesaplaw mashinaları quramında biybaha sanalıp, júdá úlken tezlikte quramalı ámellerdi orınlawda barlıq jumıs iskerligin basqarıp turadı.