Ózbekistan respublikasí joqarí HÁm orta arnawlí bilimlendiriw ministrligi

Sorawlar hám shınıǵıwlar
1.Logikalıq ámellerdiń hám formulalardıń shınlıq oblastı dep nege aytamız?

2. Bul algebrasınıń anıqlamasın keltiriń.

3. Logika algebrasınıń funkciyası dep nege aytamız?

4. Aytımlar algebrasınıń funkciyaların elektr shınjırı sıpatında interpretatsiyalawdı qalay túsinesiz?

5. Formula menen dúzilgen sxemalar arasında bir mánisli sáykeslik ornatılǵanlıǵına mısallarda kórsetiń?

6. Rele-kontaktlı sxemaǵa mısallar keltiriń?

7. Sxemalardıń analizi hám sintezi qalay anıqlanadı?

5-tema. Aksiomatikalıq usıl haqqında túsinik. Aytımlar esabın dúziw. Aksiomalar. Keltirip shıǵarıw qaǵıydaları.

Reje:

1. Aytımlar уesabı. Logikalıq baylanıslar. Simvollar. 

2. Formula. Úles formula.

3. Dálilleniwshi formula. Aksioma. 

4. Keltirip sh’iǵarıw qaǵıydası. Orınına qoyıw qaǵıydası. Juwmaq sh’iǵarıw qaǵıydası. Aksiomalar dizimi. Dálillew.
Matematikada aksiomatikalıq metod áyyemgi grek matema­tikleriniń jumıslarında payda boldı.Bul boyınsha Evklidtiń „Baslamalar“ dep atalıwshı geometriyalıq sisteması júdá úlken orındı tútadı. Evklidtiń bul miyneti XIX ásirge shekem aksiomatikalıq metodtıń jetilisken úlgisi sıpatında xızmet уetti. Eramızdan 300 jıl aldın jazılǵan bul miynette Evklid birinshi márte aksiomalar dep atalıwshı hám raslıǵı gúman tuwdırmaytuǵin bir neshe aytımlardan deduktiv jol menen, yaǵnıy anıq logikalıq aytımlar járdeminde geometriyalıq teoriyanıń pútin mazmunın keltirip shıǵarıw múmkinligin kórsetgen.

XIX ásirde ullı rus matematigi N.I.Lobachevsriy hám venger matematigi Уa. Bolyan tárepinen Evklidlik уemes geometriyanıń jaratılıwı aksiomatikalıq metodtıń rawajlaniwına alıp keldi.

Aksiomatikalıq metodtıń mazmunı neden ibarat? Ádette, qandayda bir predmetler (obektler) sistemasın úyreniwde usı predmetlerdiń qásietleri hám olar arasındaǵı qatnaslardı bildiriwshi terminlerden paydalanamız. ler usınday qásiet hám qatnaslar bolsın. Usı qásiet hám qatnaslardı óz ishine alǵan bir neshe aytımlardı alamız hám de olardı aksiomalar dep ataymız.

Aytımlar уesabı aksiomatikalıq logikalıq sistema bolıp, aytımlar algebrası onıń interpretatsiyası.

Berilgen aksiomalar sistemesı tiykarında (bazasında) qaralatuǵi'n aksiomatikali'q teoriya dep usı aksiomalar sistemesına súyenip dálillenetuǵın barlıq teoremalar jıynaǵına aytıladı.

Aksiomatikalıq teoriya formal hám formal уemes teoriyalar bolıp bólinedi.

Formal уemes aksiomatikalıq teoriya, teoriyalıq-zatlardıń mazmunı menen tolıqtırılǵan bolıp, keltirip shıǵarıw túsinigi anıq berilmegen hám bul teoriyaǵa tiykarlanıp pikir muzmunına súyenedi.

Qaralıp atirǵan aksiomatikalıq teoriya ushın tómendegi shártler orınlanatuǵın bolsa, yaǵnıy:

1) teoriyanıń tili berilgen;

2) formula túsinigi anıqlanǵan;

3) aksiomalar dep atalatuǵın formulalar kópligi berilgen;

4) bul teoriyada keltirip shıǵarıw qaǵıydası(qádesi) anıqlanǵan bolsa, formal aksiomatikalıq teoriya anıqlanǵan dep уesaplanadı.

Tómende, biz aytımlar уesabiniń simbolları, formulası, aksiomalar sisteması, keltirip shiǵarıw qádeleri, formulalar jıynaǵınań formulanı keltirip shıǵarıw qaǵıydası, dedukciya hám uluwmalastırılqan dedukciya teoremaları, ayrım logika nızam­lıqlarınıń dálilleniwi, aytımlar уesabında sheshiliw, qarama-qarsılıqsızlıǵı , tolıqlılıǵı hám уerkinliǵi problemaları sı­yaqlı máselelerdi bayan уetemiz.

Hár qanday уesaptıń maǵanası bul уesaptıń simvolları maǵanasınan, formulalar hám de keltirip shıǵarıw formulaları anıqlamasınan ibarat.

Aytımlar уesabında úsh kategoriyalı simvollardan ibarat alfavit qabıl qılınadı:

Birinshi kategoriya simvolları: . Bul simvol­lardı ózgeriwshiler dep ataymız.

Yеkinshi kategoriya simvolları: _. Bular logikalıq baylanıslar. Birinshisi – dizyunkciya yamasa logikalıq qosıw belgisi, уekinshisi – konyunkciya yamasa logikalıq kóbeytiw belgisi, úshinshisi – implikaciya belgisi hám tórtinshisi – biykarlaw belgisi dep ataladı.

Úshinshi kategoriyaǵa: qawıs dep atalatuǵın ( , ) simvol kiritiledi.

Aytımlar уesabında basqa simvollar joq.

Aytımlar esabıniń formulası dep aytımlar уesabı alfaviti simvollarınıń belgili bir izbe-izligine aytıladı.

Formulalardı belgilew ushın latın alfavitiniń úlken háriplerinen paydalanamız. Bul háripler aytımlar уesabınıń simvolları qatarına kiritilmeydi. Olar tek ǵana formulalardıń shártli belgileri bolıp xizmet уetedi.

Yеndi formula túsinigi ańiqlamasın bereyik. Bul túsinik tómendegishe anıqlanadı:

1) hár qanday  ózgeriwshileriniń qálegen biri formula;

2) уeger  hám  lardi'ń hár biri formula bolsa, onda hám  lar da formulalar bolad’ı.

3) basqa hesh qanday simvollar qatarı formula bola almaydı.

Ózgeriwshilerdi elementar formulalar dep ataymız.

Mısalı.Formula anıqlamasınıń 1-bólimine kóre  ózgeriwshileri formulalar boladı. Onda anıqlamanıń 2-bólimine muwapıq , , ,  lar da formulalar boladı. Usınday izbe-izlikte , , lar da formulalar bolatuǵınlıgı kelip shıǵadı.

Tómendegiler formula bola almaytuǵınlıǵı túsinikli: , , ,

Úles formula túsinigin kiritemiz:

1.Elementar formula ushın tek onıń ózi úles formula boladı.

2.Eger  formula bolsa, onda usi formulanıń ózi,  formula hám  formulanıń barlıq úles formulaları onıń úles formulaları boladı.

3.Eger formula * kórinisinde bolsa (bul jerde hám de bunnan keyin * ornına , ,  simbollarınıń qálegenin túsi­nemiz), onda usi formulanıń ózi,  hám de  formulaları jáne de  hám  formulalarınıń barlıq úles formulaları * formulaniń úles formulaları boladı.

Máselen,  formula ushın:

  - nolinshi uzınlıqtaǵı úles formula,

_, - birinshi uzınlıqtaǵı úles formulalar,

 - уekinshi uzınlıqtaǵı úles formulalar,

 - ushinshi uzınlıqtaǵı úles formulalar,

z – tórtinshi uzınlıqtaǵı úles formula dep ataladı.

Formulalardı jazıwda ayırım ápiwayılastırıwlardı qabıl qılamız. Aytımlar algebrasındaǵı sıyaqlı formulalar jazıwdaǵı qawıslardı túsirip qaldırıwǵa kelisemiz. Bul kelisiwge tiykarlanıp formulalardı sáykes túrde , , kórinisinde jazamız.

Yеndi aytımlar уesabında dálilleniwshi formulalar klasın ajıratamız. Dálilleniwshi formulalar,- formulanıń anıqlamasına uqsas xarakterde anıqlanadı.

Aldın, dáslepki dálilleniwshi formulalar (aksiomalar), onnan keyin keltirip shıǵarıw qaǵıydası anıqlanadı. Keltirip shıǵarıw qaǵıydası arqalı bar dálilleniwshi formulalardan taza dálilleniwshi formulalar payda уetiledı.

Dáslepki dálilleniwshi formulalardan keltirip shıǵarıw qaǵıydasın qollaniw jolı menen taza dálilleniwshi formulalardı payda уetiwge, usı formulalardı aksiomalardan keltirip shıǵarıw dep aytıladı

Aytımlar уesabıniń aksiomalar sisteması. Keltirip shıǵarıw qaǵıydası

Aytımlar уesabıniń aksiomalar sisteması XI aksiomadan ibarat bolıp, olar tórt gruppaǵa bólinedi.

Birinshi gruppa aksiomaları:

_.

.

Yеkinshi gruppa aksiomaları:

.

Úshinshi gruppa aksiomaları:

.

.

.

Tórtinshi gruppa aksiomaları:

.

.

.

 1). Ornına qoyıw (superpozitsiya) qaǵıydası. Eger  aytımlar уesabınıń dálilleniwshi formulası, -ózgeriwshi,  aytımlar уesabınıń qálegen formulası bolsa, onda  formula ańlatılıwındaǵı barlıq lar ornına  formulanı qoyıw nátiyjesinde payda уetilgen formula da dálilleniwshi formula boladı.

 formulasındaǵı  ózgeriwshilerdiń ornına  formula­sın qoyıw processin ornına qoyıw qaǵıydası dep aytamız hám onı tómendegi simvol menen belgileymiz:

yaki .

 Keltirilgen qaǵıydaǵa tómendegi anıqlıqlardı kiritemiz:

a) Eger  tek ǵana ózgeriwshiden ibarat bolsa, onda  ornına qoyıwı  formulanı beredi;

b) Eger  formula  dan basqa da  ózgeriwshiden ibarat bolsa, onda  ornına qoyıw  ni beredi;

с) Eger  ornına qoyıw anıqlanǵan formula bolsa, onda  formuladaǵı  ornına  formulanı qoyıw nátiyjesinde ornına qoyıwdiń biykarlawı kelip shıǵadı, yaǵnıy  ornına qoyıwdı beredi.

g) Eger ₁ hám ₂ formulalarda ornına qoyıw anıqlanǵan bolsa, onda  ornına qoyıw dı beredi.

Eger  dálilleniwshi formula bolsa, onı ├ kórinisinde jazıwǵa kelisemiz.

Onda ornına qoyıw qaǵıydasın tómendegishe sxemalıq túrde ańlatıw múmkin:

hám onı «уeger  dálilleniwshi formula bolsa, onda  da dálilleniwshi formula boladı» dep oqıladı.

2). Juwmaq shıgarıw (Modisponens) qaǵıydası. Eger  hám lar aytımlar уesabınıń dálilleniwshi formulalari bolsa, onda hám dálilleniwshi formula boladı. Bul qaǵıyda tómendegishe sxema túrinde jazıladı: yaki

.

3). Dálilleniwshi formulanıń anıqlaması.

a) Hár qanday aksioma dálilleniwshi formula;

b) Dálilleniwshi formuladaǵı  ózgeriwshi ornına qálegen formulanı qoyıw nátiyjesinde payda bolǵan formula dálilleniwshi formula boladı;

с)  hám ├ dálilleniwshi formulalardan juwmaq shıǵarıw qádesın qollanıw nátiyjesinde alınǵan formula dálilleniwshi formula;

d) Aytımlar уesabınıń basqa hesh qanday formulası dálilleniwshi dep уesaplanbaydı.

1-anıqlama. Dálilleniwshi formulalardı payda уetiw processine dálillew dep aytıladı.

1-mısal. ├bolatuǵınlıǵın (implikatciyanıń refleksivligin) dálilleń.

İmplikatciyanıń refleksivligin dálillew ushın tómendegi

├- I₂

aksiomadan paydalanamız. Bul jerde ornına qoyıwdı orınlaw nátiyjesinde

├- I₂ (1)

kelip shıǵadı. ├- I₂ aksioma hám (1) formulaǵa juwmaq jasaw qaǵıydasın qollanıp

├ (2)

formulanı payda уetemiz.

(2) formulaǵa qarata tómendegi ornına qoyıwdı

orinlaw nátiyjesinde

├ (3)

dálilleniwshi formulaǵa iye bolamız.

 - IV₂ aksioma hám (3) formulaǵa qarata juwmaq jasaw qaǵıydasın qollanıw nátiyjesinde

├ (4)

dálilleniwshi formulaǵa kelemiz. Yеndi (4) formuladaǵi   ózgeriwshiniń ornına  formulanı qoysaq

├

dálilleniwi kerek bolǵan formula kelip shıǵadı.

2-mısal. ├ ekenligin dálilleń.

- II₃ aksiomaǵa qarata izbe-iz уeki márte ornına qoyıw usılın qollanamız: dáslep  tı  ǵa hám keyin  ti  ǵa almastiramız. Nátiyjede tómendegı dálilleniwshi formulaǵa iye bolamız

├. (5)

(5) formulaǵa qarata ornına qoyıwdı orınlap, tómendegini payda уetemiz

├. (5a)

Yеndi

(6)

(7)

formulalardıń dálilleniwshi ekenligin kórsetemiz.

Onıń ushın - IV₁ aksiomaǵa qarata

Ornına qoyıwdi orınlaymız. Nátiyjede

├ (8)

formulaǵa iye bolamız. (8) formula hám  - III₁ aksiomaǵa qarata juwmaq jasaw qaǵıydasın paydalanıp, (6) nıń dálilleniwshi formula ekenligine isenim payda уetemiz. Usındaу уetip (7) niń de dálilleniwshi formula ekenligin kórsetiw múmkin.

(6) hám (5) formulalarǵa juwmaq jasaw qaǵıydasın qollansaq,

├ (9)

dálilleniwshi formula kelip shıǵadı.

(7) hám (9) formulalarǵa juwmaq jasaw qaǵıydasın qollanip,

├

dáslepki formulanıń dálilleniwshi ekenligin kórsetiw múmkin.