Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

2-masala. Muvozanat holatida turgan fizik mayatnikni qaraymiz.Agar mayatnikning muvozanat holatidan chetlanishi bo’lsa, u holda kichik amplitudalar bo’yicha mayatnikning tebranish tenglamasi

ko’rinishga ega. Faraz qilaylik mayatnikka miqdori bir birlik cheklangan tensizlikni qanoatlantiruvchi tashqi kuch qo’yish mumkin bo’lsin. U holda boshqariladigan mayatnikning tenglamasi

ko’rinishga ega. belgilas hlar bilan bu tenglamani (1.1) sistema ko’rinishiga keltiramiz. U holda
(1.5)
Bu holda holat vektori hammasi bo’lib ikkita: - mayatnikning muvozanat holatidan chetlanishi va - tezlikning chetlanishi.o’chirilgan boshqaruvda, ya’ni bo’lganda muvozanat holati shartlar bilan beriladi. Faraz qilaylik, qandaydir tashqi kuchlar ta’siri ostida mayatnik muvozanat holatidan ixtiyoriy holatga chetlangan bo’lsin. Mayatnikning bu holatda bo’lishi
fizik nuqtau nazardan bu holatda bo’lishi maqsadga muofiq emas, shuning uchun mos ravishda tashqi kuchni tanlab mayatnikni muvozanat holatiga qaqytarish lozim. Yana bu holda fizik nuqtau nazardan boshqaruv bo’lakli uzluksiz bo’lishi talab qilinadi.
Shunday qilib biz quyidagi optimal boshqaruv masalasiga keldik. tensizlikni qanoatlantiruvchi shunday bo’lakli uzluksiz tashqi kuchni tanlash lozimki, mos ravishda mayatnikning trayektoriyasi, ya’ni (1.5) tenglamaning yechimi boshlang’ich holatdan songgi
holatga eng qisqa vaqt ichida o’tsin.
Optimal boshqaruvning yagonaligi boshqa sohalarda ham tatbiqi ahamiyatli.
Muhandislar uchun optimal boshqaruvining yagonaligini bilish juda muhumdir. Agar u yagona bolsa, u holda muayan boshqariladigan ob’ektlarda yagona optimal boshqaruvini qo’llash oson kechadi. Shuning uchun optimal boshqaruvining yagonalik masalasi ham optimal boshqaruv matematik nazariyasining asosiy masalalari qatoriga kiradi.
Albatta biz optimal boshqaruv masalasini echishda yuzaga keladigan barcha muammolarni sanab chqmadik faqat asosiylarini keltirdik. Bu muammolarni muayan boshqaradigan ob’ekt uchun ko’rsatilgan savolarni ketma-ketlikda tekshirish shart emas. Masalan, dastlab optimal boshqaruvning mavjudligi aniqlangan bo’lsa va biz boshlang’ich holatlarning to’plamini so’nggi holatiqa olib o’tuvchi va optimallikning zaruriy shartini qanoatlantiruvchi yagona boshqaruvni topgan bo’lsak, u holda boshqaruvning optimalligi garantiyalanadi

2.1 Optimal boshqaruv matematik nazariyasining asosiy masalalari

Optimal boshqaruvning matematik nazariyasi quyidagi masalalarni o’z ichiga oladi.
Boshqariluvchanlik. Dastlab quyidagicha savol tug’ilishi tabiiy, harakatlanayotgan dinamik ob’ektni boshlang’ich holatlarning to’plamidan so’nggi holatlarning holatiqa olib o’tuvchi hech bo’lmaganda bitta joiz boshqaruv mavjudmi, ya’ni holat vektorining trayektoriyasi (1.3) shartni qanoatlatirishi uchun unga mos joiz boshqaruv mavjudmi? Agar bu masala ijobiy hal etilsa , biz qaralayotgan ob’ekt to’plamidan to’plamga boshqariluvchan deb aytamiz. Aks holda optimal boshqarub masalasining qo’yilishi ma’nosini yo’qotadi.
Optimal boshqaruvning mavjudligi. Agar boshqaruv-chanlik masalasi ijobiy hal etilsa, ya’ni dinamik ob’ektni boshlang’ich to’plamidan so’nggi to’plamga olib o’tuvchi qandaydir joiz boshqaruv mavjud bo’lsa, u holda optimal boshqaruvning mavjudligini aniqlash zarurdir.
Muxandislar muayan masalalarni yechishda bunday masala qo’ymaydilar, imkoniyatlar bo’yicha eng maqbul boshqaruvni tanlaydilar. Matematik nuqtai nazardan bu masala o’ta muxumbo’lib, agar optimal boshqaruv mavjud bo’lmasa, u holda kelgusida uni izlash ma’noga ega emas. Matematikada biz qandaydir haqiqiy fizik ob’ektning modeliga ega bo’lamiz , va modelda optimal boshqaruvning mavjud emasligi model hoto’g’ri tuzilganligidan dalolat beradi.
Optimallikning zaruriy sharti. Agar qaralayotgan masalada optimal boshqaruv mavjud bo’lsa, bu optimal boshqaruvni topishning usullarini rivojlantirishimiz kerak.
Eng sodda masalalarda ham berilgan ob’ektni boshlang’ich holatlarning to’plamidan so’nggi holatlarning holatiqa olib o’tuvchi ko’plab joiz boshqaruvlar mavjud bo’liishi mumkin. Shuning uchun oddiy tanlash bilan barcha joiz boshqaruvlarni optimallikka tekshirib chiqish qiyin. Optimallikka da’vogar bo’lgan barcha boshqaruvlarni qanday tanlash mumkin mavzusida masala yuzaga keladi. Bu masalani yechishda optimallikning etali sharti imkoniyat beradi. Shuning uchun optimal boshqaruvni optimallikning zaruriy shartini qanoatlantirubchi barcha joiz boshqaruvlar orasidan izlash kerak. Bunday optimallikning zaruriy sharti Pontryagin maksimum prinsipidir. Dastlab harakat dinamikasi (1.1) ko’rinishdagi tenglamalar bilan berilgan boshqaruv sistemalari uchun bu birinchi bor 1953 yilda akademik Lev Semenovich Pontryagin tomonidan gipoteza ko’rinishida aytilgan, keyin uning o’quvchilari tomonidan isbotlangan. Moxiyatiga ko’ra optimal boshqaruvning matematik nazariyasi optimallikning zaruriy shartidan boshlangan. Ba’zi masalalarda maksimum prinsipini chekli sondagi boshqaruvlar qanoatlantirganligi sababli ularning orasidan optimalini tanlash qiyin emas. Maksimum prinsipining to’la isboti 1961 yilda L.S.Pontryagin va uning o’quvchilari tomonidan [1] kitobda e’lon qilingan. Maksimum prinsipini qo’llash darxol ko’plab qiziqarli muxandislik masalalarini yechish imkoniyatini hamda ko’plab boshqa masalalarida optimal boshqaruvni topishga yaqinlashtirdi. Shu sababli 1962 yilda bu kitob Lenin mukofoti bilan taqdirlangan-ligi bejiz emas.
Optimallikning etarli sharti. Ko’plab masalalarda optimallikning zaruriy sharti optimallika talabgor bo’lgan boshqaruvlar sinfini qisqartirish imkoniyatini bersada bu sinf etarlicha keng bo’lib qolaveradi. Bu sinfdagi haqiqiy optimal boshqaruvini tanlash imkoniyatini optimallikning etarli sharti beradi. Bu sinfdagi qandaydir boshqaruv optimallikning yetarli shartini qanoatlantirsa, bu bilan uning optimalligi garantiyalanadi. Albatta optimallikning yetarli shartini bir emas bir nechta boshqaruvlar qanoatlantirishi mumkin. Bu bilan bu boshqaruvlarning hammasi optimaldir, yaniy sifat kriteriyasini ifodolovchi funksional bu boshqaruvlarda bir hil, shu bilan birga minimal qiymat qabul qiladi.
Optimal boshqaruvining yagonaligi. Muhandislar uchun optimal boshqaruvining yagonaligini bilish juda muhumdir. Agar u yagona bolsa, u holda muayan boshqariladigan ob’ektlarda yagona optimal boshqaruvini qo’llash oson kechadi. Shuning uchun optimal boshqaruvining yagonalik masalasi ham optimal boshqaruv matematik nazariyasining asosiy masalalari qatoriga kiradi.
Albatta biz optimal boshqaruv masalasini echishda yuzaga keladigan barcha muammolarni sanab chqmadik faqat asosiylarini keltirdik. Bu muammolarni muayan boshqaradigan ob’ekt uchun ko’rsatilgan savolarni ketma-ketlikda tekshirish shart emas. Masalan, dastlab optimal boshqaruvning mavjudligi aniqlangan bo’lsa va biz boshlang’ich holatlarning to’plamini so’nggi holatiqa olib o’tuvchi va optimallikning zaruriy shartini qanoatlantiruvchi yagona boshqaruvni topgan bo’lsak, u holda boshqaruvning optimalligi garantiyalanadi.
Tezkorlikning chiziqli masalasi. Shunday qilib biz optimal boshqaruv masalasining umumiy ko’rinishda qo’yilishini va bu masalani echishda yuzaga keladigan ba’zi asosiy muamolarni qarab chqdik. Bu kitobda biz asosan optimal boshqaruv matematik nazariyasining soddaroq masalasi bo’lgan chiziqli tezkorlik masalasini o’rganamiz.
Bu ob’ektning harakat dinamikasi
(1.6)
Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi bilan yoziladi, bu yerda -ob’ektning o’lchamli holat vektori, - o’lchamli
bsqaruv vetori bo’lib, boshqaruvqa cheklanish qo’yilgan , o’lchamli o’zgarmas matritsa. Qandaydir joiz boshqaruvni va ob’ektning boshlang’ich holatini bilgan holda, ob’ektning holat vektorini (1.6) differensial tenglamalar sistemasining yagona yechimi sifatida hosil qilish mumkin. Joiz boshqaruvlar sinfi, keyinroq yordamchi matematik tushunchalar o’rganilgandan keyin aniqlanadi.
O’bektning boshlang’ich va so’ggi holatlari bo’lgan va to’plamlar o’lchamli vektor fazoning qandaydir bo’sh bo’lmagan kompakt qism to’plamlari sifatida olinadi. Sifat kriteriysi bo’lib, to’plamdan to’plamga o’tish uchun sarflangan vaqt, ya’ni

bo’ladi. Bunday sifat kriteriysi (1.4) sifat kriteriysidan integral ostidagi funksiya

bo’lganda hosil bo’ladi.
Shunday qilib, biz chiziqli tezkorlik masalasining qo’yilishiga keldik. Bu masala obektni boshlang`ich holatlarning to`plamida holatlarning so`ngi to`plamiga eng qisqa vaqt ichida olib o`tuvchi joiz boshqaruvni va unga mos (1.6) tenglamaning yechimini topishdan iborat.
Yuqorida keltirilgan 2-misol chiziqli tezkorlik masalasi bo`ladi.
Optimal boshqaruv nazariyasi bilan birinchi tanishish uchun chiziqli tezkorlik masalasining tanlanilishi bejiz emas. Bu masala ko`proq ustunlikka ega.
Birinchidan, (1.6) chiziqli differensial tenglamalar uchun trayektoriyani boshqaruvga nisbatan oshkor ko`rinishda yozish mumkin. Bu esa optimal boshqaruv matematik nazariya-sining asosiy masalalarini effektiv tekshirish imkoniyatini beradi.
Ikkinchidan, chiziqli tezkorlik masalasalalarida optimal boshqaruvning umumiy masalasidagi barcha harakterli qiyinchiliklar yaqqol namayon bo`ladi.
Kitobning birinchi qismi (2-5-ma’ruzalar) yordamch matematik tushunchalarni o’rganishga bag’ishlangan. Tayanch funksiya, ko’pqiymatli akslantirishlar, ko’pqiymatli akslantirishlarning integrallari va boshqa tushunchalar mukammal ko’rib chiqilgan. Bu tushunchalar matematikaning turli bo’limlarida keng tadbiqlarini topmiqda. Kitobning ikkinchi qismida bu tushunchalar asosida chiziqli tezkorlik misolida optimal boshqarishning matematik nazariyasi o’rganiladi.

2.2 . Yagonalikning birinchi teoremasi

Avvalgi mavzularda aniqlashtirilmagan savol: qanday shartlar bajarilganda chiziqli tezkorlik masalasida qo’shma funksiyaning berilgan boshlang’ich qiymati uchun Pontryagin maksimum prinsipini qanoatlantiruvchi yagona juftlik mavjud? qolgan edi. Quyidagi chizmada chizmada keltirilgan sxema bo’yicha bir qiymatlilikni buzilishi faqat ikki joyda ro’y berishi mumkin.

Holat vektorining boshlang’ich qiymati to’plamdagi
(2.5)
transversallik shartidan bir qiymatli aniqlanmasligi mumkin, shuningdek boshqaruv ham
(2.6)
maksimum shartidan bir qiymatli aniqlanmasligi mumkin.
boshqaruvning yagonaligi , ikkita o’lchovli funksiyalar biror kesnada deyarli ustma-ust tushsa, ular bu kesmada teng ma’nosida tushuniladi.
Bu qadamlarning qaysi birida bir qiymatli moslik mos kelishini, va berilgan qiymat bo’yicha maksimum prinsipini qanoatlantiruvchi yagona juftlik mos kelishini ko’rib chiqamiz.