Zahiriddin muhammad bobur nomidagi andijon davlat

I-faraz.Shunday matritsa mavjudki, qaysiki barcha lar uchun to‘plam bo‘sh emas.
sonli funksiyani quyidagi kurinishda aniqlaymiz:

II-faraz.а) boshlang‘ich holat uchun shunday vaqt mavjudki, qaysiki,

tengsizlik bajariladi;
b) qochuvchi o‘yinchining ixtiyoriy joiz boshqaruvchi uchun

qismiylik munosabati o‘rinli bo‘ladi.
I-tеorеma.Agar 1, 2- farazlarning barcha shartlari bajarilsa, u holda (3.2.1) o‘yinda (3.2.2) shart ostida ixtiyoriy boshlang‘ich holatdan vaqtda quvishni tugallash mumkin.
I-teoremaning isboti. Aytaylik, (3.2.1), (3.2.2) o‘yin uchun boshlang‘ich holatda 1-teoremaning barcha shartlari bajarilsin va qochuvchining ixtiyoriy o‘lchovli boshqaruvi bo‘lsin. Quyidagicha aniqlangan funksiyani qaraylik:

Har bir vaqt momentida quvlovchi boshqaruvini quyidagicha kuradi. 2-farazga ko‘ra shunday o‘lchovli funksiya uchun shunday vaqt momenti mavjudki, qaysiki, qaralayotgan funksiyaning o‘sha vaqtdagi qiymati nolga teng bo‘ladi (agar bunday vaqt momenti bittadan ko‘p bo‘lsa, u holda ularning ichidan eng kichigini bilan belgilaymiz). Ushbu tasdiqni e’tiborga olib, boshqaruvni vaqt momentida quyidagi tenglamaning

(3.2.6)
yechimi sifatida olamiz, va vaqt momentida esa quyidagi tenglamaning
(3.2.7)
yechimi sifatida olamiz.
sonli funksiyaniqaraymiz, qaysiki, bu funksiya bo‘yicha yuqoridan yarim uzliksiz tayinlangan larda, tayinlangan larda o‘lchovli funksiya bo‘ladi[8]. orqali (3.2.6), (3.2.7) tenglamalarning mos ravishda yechimlar to‘plamini belgilaymiz. to‘plamning qurilishiga asosan, to‘plamlar bo‘sh emas. Shuning uchun Filippovning lemmasiga ko‘ra [8], (3.2.6), (3.2.7) tenglamalar boshqaruvga nisbatan yagona eng kichik leksikografik ma’nodagi yechimga ega bo‘ladi va biz uni bilan belgilaymiz. Ravshanki, funksiya o‘lchovli bo‘ladi, agarda funksiya vaqt oralig‘ida o‘lchovli bo‘lsa.
Bu topilgan boshqaruvlarni (3.2.1) tenglamaga quyib, (3.2.5) Koshi formulasiga ko‘ra (3.2.3) boshlang‘ich shartni e’tiborga olib, yechimni vaqt momentida topamiz (uni qism fazoga proeksiyalab) Formulaga ifodani qo‘shib, ayirib, (3.2.6), (3.2.7), tenglamalarga asosan quydagiga ega bo‘lamiz







(3.2.8)
Yoki


Bundan geometrik ayirmaning ta’rifiga asosan, quydagiga ega bo‘lamiz


Shunday qilib, , tegishlilik munosabatiga ega bo‘lamiz, bu esa tegishlilik munosabatiga ekvivalent bo‘ladi. Bu bilan 1-teorema isbot bo‘ldi.
Endi 1-teoremani ozgina kuchaytiramiz (umumlashtiramiz).
Buning uchun quyidagi vektor-funksiyani kiritamiz

bu yerda ixtiyoriy vektor, ya’ni funksiya to‘plamning elementi, biz uni tayinlab (fiksirlab) quyamiz.