Z халқада таққосламалар ва чегиримлар синфи

Ma’ruza 11.
Z xalqada taqqoslamalar va chegirmalar sinfi

Bizga xalqada va sonlar va qandaydir son berilgan bo’lsin.

Ta’rif 11.1 Agar va sonlarini ga bo’lgandagi qoldiqlari teng bo’lsa, va sonlar son bilan yoki modul bo’yicha taqqoslamada deyiladi va yoki shakllarda yoziladi.
Masalan, , sonlari modul bo’yicha taqqoslanadi, chunki va va demak, .
Agar va sonlarni songa bo’lganda har xil teng emas qoldiqlar hosil bo’lsa, va sonlarni bo’yicha taqqoslanmaydi deyiladi va shaklda yoziladi. Masalan, , sonlari modul bo’yicha taqqoslanmaydi, chunki va bo’ladi va demak, .
TeoremA 11.2 Agar va sonlar son bilan yoki modul bo’yicha taqqoslansa, u holda soni ga bo’linadi.
Isbot. Haqiqatan, va sonlar ga qoldiqli bo’lamiz:
va , .
U holda bo’ladi va demak, son ga bo’linadi. Hamma soniga karrali bo’lgan sonlar to’plami bo’ladi. U holda bu to’plamga nisbatan binar munosabat bo’ladi, chunki modul bo’yicha taqqoslamalaga ixtiyoriy sonlar uchun .
Teorema 11.3 to’plamda modul bo’yicha kiritilgan binar munosabat ekvivalentlik munosabati bo’ladi.
Isbot. Ekvivalentlikning uchta xossalarining o’rinli bo’lishligini ko’rsatamiz:
1. ,chunki ga bo’ltnadi va demak ~
2. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi, chunki son ga bo’linsa, soni ham ga bo’linadi va demak, ~ dan ~ kelib chiqadi.
3. Agar va Agar bo’lsa, u holda , chunki va sonlar ga bo’linsa, son ham ga, bo’linadi va dempk, ~ , ~ dan ~ kelib chiqadi.
Bu ekvivalentlik munosabati to’plamni modul bo’yicha kesishmaydigan sinflarga ajratadi va bu sinflarga chegirmalar sinflari deyiladi, munsabat esa taqqoslama deyiladi.
Shuni ta’kidlash kerakki, ayirma ga bo’linsa, va sonlarni ga bo’lgandagi qoldiqlari teng bo’ladi (tekshiring) va demak, modul bo’yicha har bir chegirmalar sinfi ga bo’lingandi bir xil qoldiq beradigan barcha butun sonlardan iborat. Butun son ga bo’linganda faqat sonlarini qoldiq sifatida paydo bo’ladi va demak, modul bo’yicha barcha chegirmalar sinfi ta bo’ladi. Biz chegirmalar sinfini ga bo’lgandagi qoldig’i 0 bo’ladigan bilan, qoldig’i 1 ga bo’ladigani va hokazo qoldig’i ga bo’ladiganini belgilab olamiz. Ko’rinib turibdiki, dir. to’plamnining modul bo’yicha turli chegirmalar sinfi faktor to’plam bo’lib, u to’plamdan iboratdir. Shuni ta’kidlaymizki, modul bo’yicha chegirmalar sinflarining ta’rifidan munosabat munosabatga teng kuchlidir.
Endi taqqoslamaning asosiy hossalarini keltiramiz.