Yusufjonov boburxonning diskret tuzulmalar fanidan mustaqil ishi

funksional qator tushunchasiga ega bo‘lamiz.
Amaliy masalalarni hal qilishda funksional qatorlar sinfiga tegishli bo‘lgan darajali qatorlar muhim ahamiyatga ega. Darajali qator

a₀ a₁x a₂ x² ... a_n xⁿ ...a_k x^k
k1

ko‘rinishga ega bo‘lgan funksional qatordan iboratdir, bu yerda a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n ,...

berilgan chekli o‘zgarmas koeffitsientlarni, x esa qator o‘zgaruvchisini ifodalaydi. Tushunarliki, o‘zgaruvchisi nolga teng bo‘lgan har qanday darajali qator yaqinlashuvchidir. Odatda darajali qator o‘zgaruvchining ba’zi qiymatlarida yaqinlashuvchi, boshqalarida esa uzoqlashuvchi bo‘ladi. Ammo, shunday darajali qatorlar borki, ular o‘zgaruvchi qanday qiymatga ega bo‘lishidan qat’iy nazar yaqinlashuvchi yoki o‘zgaruvchining noldan boshqa barcha qiymatlarida

uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Kombinatorikada qator tushunchasi kombinatorik ob’yektlar tufayli vujudga kelgan ketma-ketliklar bilan ishlash uchun kerakli qurol sifatida qo‘llaniladi. Masalan, agar bo‘laklash masalasi qaralayotgan bo‘lsa, bunday sonlar ketma-ketligining elementlari qilib n natural sonni qo‘shiluvchilar yig‘indisi sifatida bo‘laklashlar soni R(n) ni olish mumkin.
Agar darajali qator vositasida chekli sonlarning cheksiz
ketma-ketligiga haqiqiy yoki kompleks o‘zgaruvchili qandaydir funksiya mos

qo‘yilishi	mumkin bo‘lsa, u holda ketma-ketliklar ustida bajariladigan ba’zi
amallarni ularga mos funksiyalar ustida bajarish imkoniyati paydo bo‘ladi.
Darajali qator yig‘indisini ifodalovchi
		
		f (x)ak x^k
		k0
funksiya a0 , a1 , a2 ,..., an ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi deb ataladi.
Bu	yerda	f (x) funksiyani aniqlovchi qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi
uchun x	o‘zgaruvchining haqiqiy yoki kompleks qiymatli bo‘lishi muhim
ahamiyatga ega emas.
		
Matematik analiz kursidan ma’lumki, agar f (x)ak xk			darajali qator x			 0
		k0
nuqtaning qandaydir atrofida yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda a				f ^(^k ^) (0)	( k 0,1,2,...
		k		k!
) formula	o‘rinli	bo‘ladi, bu yerda f ^(^k ^) (0) ifoda f (x) funksiyadan			olingan	k -
tartibli hosilasining x 0 nuqtadagi qiymatidir.

1-misol. Hadlari faqat birlardan iborat bo‘lgan 1,1,...,1,... sonlar ketma-

ketligining hosil qiluvchi funksiyasi f (x)		1		ko‘rinishga ega bo‘ladi.
		 x
1

Haqiqatdan ham, 1,1,...,1,... sonlar ketma-ketligiga

1 x x² ... xⁿ ...

darajali qator mos keladi va bu darajali qatorning hadlari maxraji x ga teng bo‘lgan

1, x, x² ,..., xⁿ ,...

ko‘rinishdagi geometrik progressiyadan iboratdir. Elementar matematika kursidan

ma’lumki, bu progressiya bo‘lganda cheksiz kamayuvchi geometrik

progressiya bo‘ladi va uning barcha hadlari yig‘indisi
1 x x² ... xⁿ ... ₁_¹ _x

formula bilan ifodalanadi.

2-misol. 1-misoldagidek mulohaza yuritib har qanday chekli a songa mos keluvchi 1, a, a² ,..., aⁿ ,... sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasi

f (x)		1	ko‘rinishda bo‘lishini aniqlash mumkin.
		 ax
1

2. 
   Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalari. Hosil qiluvchi funksiyalar bir qator xossalarga ega. Biz quyida shunday xossalardan ba’zilarini oddiy xossalar sifatida keltiramiz. Ular hosil qiluvchi funksiyalarni tuzish hamda ulardan amaliy masalalarni hal etishda ko‘mak berishadi.
   

1-xossa. Agar a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f_a (x) va b₀ ,b₁,b₂ ,...,b_n ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f_b (x) bo‘lsa, u

holda

a₀ b₀ , a₁ b₁, a₂ b₂ ,..., a_n b_n ,...

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f (x) f_a (x) f_b (x) bo‘ladi.

	2-xossa. Agar	a0 , a1 , a2 ,..., an ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
fa (x)	va b0 ,b1,b2 ,...,bn ,...	ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi fb (x)		bo‘lsa, u
		n
holda	elementlari	^dn^^ai^bni	( n 0,1,2,... ) sonlardan iborat	bo‘lgan

i0

d₀ , d₁, d₂ ,..., d_n ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f (x) f_a (x) f_b (x) bo‘ladi.

Ayrim ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini avvaldan ma’lum bo‘lgan hosil qiluvchi funksiyalarga mos darajali qatorni hadlab differensiallash amali yordamida topish mumkin.

3-m i s o l . Ushbu 0,1,2,3,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f (x) ^x bo‘ladi.

(1 x)²


Haqiqatdan ham, qaralayotgan ketma-ketlikkakxk ko‘rinishdagi darajali
k0


qator mos keladi. Darajali qatorni hadlab differensiallash amalinixk qatorga

k0



1

qo‘llab

va

x

1 bo‘lgan hol

uchun

o‘rinli

x^k



tenglikni hisobga olib,

1 x

k0

quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:







d

x^k



kx^k xkx^k

^1 x

k0

k0

k0 ^dx

d^

k

d



1

x

 x

x

 x







.

(1 x)

2

^dxk0

dx

1 x

Umuman olganda, hosil qiluvchi funksiyalarni tuzishda darajali qatorni

hadlab differensiallash amalidan foydalanish quyidagi xossaga tayanadi.

3-xossa. Agar a0 , a1 , a2 ,..., an ,...

ketma-ketlikning

hosil

qiluvchi

funksiyasi

fa (x)

bo‘lsa, u holda elementlari

bn (n1)an1

( n 0,1,2,... ) sonlardan iborat

b ,b ,b ,...,b ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f

b

(x)

dfa (x)

bo‘ladi.

0 1

2

n

dx

4-misol. 1,2,3,4,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasini topish talab

etilsin.



Hosil

qiluvchi funksiya

ta’rifiga

ko‘ra izlanayotgan

funksiya

(1 k )x^k

k0

darajali qatorning yig‘indisidan iboratdir. 1-xossaga ko‘ra qaralayotgan ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi 1,1,...,1,... va 0,1,2,3,... ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalari yig‘indisidan iboratdir. 1- va 3-misollar natijalaridan foydalanib, quyidagilarga ega bo‘lamiz:







1

x

1 x

x

1

(1 k)x^kx^kkx^k







.

 x)

2

(1 x)

2

 x)

2

k0

k0

k0

1 x (1

(1

Demak, 1,2,3,4,...

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyalasi

f (x)

1

(1 x)^2

bo‘ladi.

3.