Yuqori tartibli momentlar va ular uchun tengsizliklar 1-ta’rif

4-ta’rif: tasodifiy miqdorning k-tartibli markaziy absalyut momenti deb, diskret tasodifiy miqdorlar uchun

ifodaga, uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun

ifodaga aytiladi.

Xususan, agar bo’lsa, tartibli boshlang’ich absalyut moment bilan ustma-ust tushadi.

Markaziy momentlarni mos boshlang’ich momentlar orqali ifodalash mumkin:

, , .

Endi momentlarga uchun tengsizliklarni ko’rib chiqamiz.

Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi. Ikkinchi tartibli momentga ega bo’lgan ixtiyoriy va tasodifiy miqdorlar uchun:

(1)

Isboit: bo’lganligi, hamda va momentlarning chekliligidan kelib chiqadi.

va o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan musbat aniqlangan ushbu

kvadratik formaning diskriminanti

bo’lishi kyerakliligidan bundan kelib chiqadi.

Agar bo’lsa, (1) dan

Shuningdek, (1) munosabatdan

va (2)

kelib chiqadi.

Yenson tengsizligi. Agar va funksiya botiq bo’lsa, u holda



Isbot: Agar funksiya botiq bo’lsa, u holda har bir uchun shunday funksiya topiladiki,

bo’ladi.

Agar , deb olsak va bu tengsizlikning har ikki tomonidan matematik kutilma olsak, kelib chiqadi.

Lyapunov tengsizligi. Agar tasodifiy miqdorning k-tartibli absolyut momenti mavjud bo’lsa, ixtiyoriy va ( ) uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Gyoldyer tengsizligi. , va sonlar uchun munosabatlar o’rinli bo’lsin. Agar va bo’lsa,

(3)

tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Isboti: , (4)

belgilashlarni kiritamiz.

funksiyaning qavariq bo’lganligi uchun ixtiyoriy uchun

bo’ladi.

o’suvchi funksiya bo’lganligi uchun

tengsizlik o’rinli bo’laladi. Oxirgi tengsizlikda

deb olsak,

ga ega bo’lamiz. Oxirgi tengsizlikning ikkala tomonidan matematik kutilma olsak,

(5)

tengsizlik ega bo’lamiz.

,

bo’lganligi uchun oxirgi tengsizlikdan (4) belgilahlarni hisobga olsak (3) ga ega bo’lamiz.

Gyoldyer tengsizligidan bo’lganda, Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi kelib chiqadi.

Ehtimollar nazariyasi va uning tadbiqlarida tasodifiy miqdorlarning quyidagi xarakteristikalari kyerak bo’ladi.