Yuqori darajali tub modulli taqqoslamalar. Lejandr simvoli va Yakobi simvoli

15-ma’ruza

Taqqoslamalar nazariyasining ayrim arifmеtik tadbiqlari
1.Bo’linish alomatlari .Butun sonlar to’plamiga tegishli ixtiyoriy va sonlari berilgan bo’lsin.Ko’p hollarda sonni songa bo’lishdan hosil bo’lgan eng kichik qoldiqni topish talab etiladi.Bu masalani hal etishning umumlashgan usulini dastlab fransuz matematigi B.Paskal ko’rsatgan edi.
Biz hozir shu usulni o’nlik ,yuzlik va minglik sanoq sistemalari uchun bayon etamiz.
Faraz qilaylik, natural son o’nlik sanoq sistemada berilgan bo’lsin. Unda bu sonni o’nning darajalari bo’yicha quyidagicha yozish mumkin.

modul bo’yicha son tegishli bo’lgan chegirmalar sinfining eng kichik absolyut chegirmasi ya’ni

bo’lsin.Unda sonini quyidagicha yozish mumkin :

_{Agar desak, ushbu
Ko’rinishida bo’ladi.Shunday qilib, soni undan kichik bo’lgan soni bilan almashtiriladi.Boshqacha qilib aytganda, taqqoslama o’nlik sistemada Paskalning bo’linishi (yoki teng qoldiqlilik) alomatini bildiradi.Agar bo’lsa son ga qoldiqsiz bo’linadi,agar bo’lsa u holda bo’ladi.}
Bo'linish alomatini quyidagi ba'zi xususiy hollarini ko'rib o'tamiz:
1. bo’lsin.Biz ixtiyoriy natural sonning 9 ga bo’linish alomatini keltirib chiqaramiz.
Ushbu taqqoslamaning ikkala qismini darajaga ko’tarsak,

Taqqoslama hosil bo’ladi.Bundan ko’rinadiki barcha lar 1 ga teng ekan.Unda quyidagi ko’rinishni oladi:

Bu esa o’rta maktabda bizga ma’lum bo’lgan alomatning o’zidir,yani berilgan sonning raqamlari yig’indisi 9 ga bo’linsa u holda bu natural son 9 ga bo’linadi
2. bo’lsin .U holda ga asosan

Tenglik o’rinli bo’ladi,ya’ni son 11ga bolinsa u holda berilgan son 11ga bolinadi.
1-misol. 3568921 sonni 11ga bo’lganda hosil bo’ladigan qoldiqni toping.

Demak ,3568921 sonni 11ga bo’lganda qoladigan qoldiq 4 ga teng.
3. bo’lsin u holda


<sub>Bo'lgani uchun n bo’ladi.
Faraz qilaylik, 10soni modul bo’yicha korsatgichga ega bo’lsin.Unda ko’rsatgichning tarifiga asosan , bo’lgani uchun bo’lib, bo’ladi.yani qoldiqlar ta qadamdan so’ng takrorlanadi.U holda quyidagi ko’rinishni oladi:

Ma’lumki, ixtiyoriy sonni ixtiyoriy sanoq sistemasida yozish mumkin .Faraz qilaylik, sanoq sistemasining asosi bo’lib, bu asosga ko’ra sonning yoyilmasi

bo’lsin. bo’lgani uchun taqqoslama
ko’rinishini oladi.
Demak, 10 asosli sistemada berilgan sonning ga bolinish alomati o’nlik sistemada berilgan sonning 9ga bo’linish alomati kabi bo’lar ekan. Shuni alohida takidlash kerakki, berilgan sonning asos bo’yicha ga bo’linish alomatinikeltirib chiqarish uchun o’ngdan chapga qarab xonalrga ajratish lozim.
2-misol. sonning 100 lik sistemada 11 ga bo’linish alomatini keltirib chiqaring.
Avvalo ni yuzlik sistemada quyidagicha yozib olamiz:

Ammo bo’lganiuchun
Bo’lib, soniniyuzliksistemada 11gabo’lishdanhosilbo’lganqoldiq

3-misol.37modul bo’yicha 10soni 3 ko’rsatgichga tegishli,ya’ni bo;lgani uchun berilgan soni minglik sistemada
ko’rinishida yozilgan bo’lsa, u holda

Bo’lganidan minglik sistemada 37ga bo’linish alomati

Bo’ladi. sonini 1000lik sistemada 37 ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqni toping.

Bo’lgani uchun qoldiq 23 ga teng.
Endi darajani bo’lishdan chiqqan qoldiqni hisoblaylik.

Bo’lgani uchun daraja daraja bilan almashtiriladi. bo’lganda Eyler teoremasidan foydalanish maqsadga muvofiq.Haqiqatan, bo’lganda edi.
tenglikka asosan

ni yoza olamiz.
4-misol. ni 28ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.

Bunda bo’lgani uchun
bo’lgani uchun bo’ladi.
ayniy taqqoslama olaylik.U holda

Demak, ya’ni soni 28 ga bo’lganda chiqadigan qoldiq 13 bo’lar ekan.
Oddiy kasrni o’nlik kasrga aylantirishda hosil bo’ladigan davr uzunligini aniqlash.Ma’lumki,mahraj 2 va5ga bo’linmaydigan har qanday qisqarmaydigan kasrni o’nli kasrga aylantirganda ,bu o’nli kasr cheksiz davriy o’nli kasr bo’ladi.
1-ta’rif.o’nli kasrning butun qismi uning xarakteristikasi,kasr qismi esa mantissasi deyiladi. Agar o’nli kasrning mantissasi cheksiz bo’lib, unda ma’lum uzunlikdagi o’nli ulushlar takrorlanib kelsa,u holda bunday o’nli kasr davriy o’nli kasr,takrorlanadigan o’nli ulushlarning kichigi davr,bu davrdagi raqamlar soni davr uzunligi deyiladi.
2-ta’rif.agar davriy kasrda davr bevosita verguldan keyin kelsa,u holda bunday kasr sof davriy kasr,agar vergul bilan davr orasida boshqa raqamlar bo’lsa,u holda bunday davriy kasr aralash davriy kasr deyiladi.
Har bir davriy o’nli kasrning davr uzunligini topish mumkin.Buning uchun quyidagi 2 holni b’lishi mumkin.
1-hol.qisqarmaydigan to’g’ri (aks holda kasrning butun qismini ajratib olgan bo’lardik) kasrning maxrajida 2va 5 kabi bo’luvchilar mavjud emas,ya’ni bo’lsin.
Quyidagi tengliklar ketma-ketligini qaraymiz:



…………… ………...

bo’lgani uchun bo’ladi.Quyidagi tasdiqlar rost bo’ladi:


……………………………………………
Shunday qilib ekaniga ishonch hosil qilamiz.Demak,turli lar modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil etadi. Ma’lumki, modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasidagi chegirmalar soni qadamdan so’ng barcha qoldiqlar va ular bilan birgalikda chala bo’linmalar yana takrorlana boshlaydi. raqamlar esa qisqarmaydigan kasrning davri deyilib,bu kasrning davr uzunligi dan katta bo’la olmaydi.
Davrdagi raqamlar sonini topish uchun tengliklarni modul bo’yicha quyidagi taqqoslamalarga almashtiramiz:

Bu taqqoslamalarni hadlab ko’paytiramiz,u holda
hosil bo’ladi. bo’lgani uchun oxirgi taqqoslamaning ikkala qismini ko’paytmaga bo’lib, ushbu
taqqoslamani hosil qilamiz.
Aytaylik, 10 soni modul bo’yicha ko’rsatgichga tegishli bo’lsin.U holda son tegishli ko’rsatgichning ta’rifiga asosan, ushbu

taqqoslama o’rinli bo’ladi. ga asosan ni quyidagicha yozish mumkin:

Ma’lumki, har biri dan kichik bo’lgan 2 ta musbat son modul bo’yicha teng qoldiqli bo’lishi uchun ular teng bo’lishi ya’ni bo’lishi lozim.
Demak, ta qadamdan keyin qoldiqlar (va demak bo’linmalar ham)takrorlanib keladi:

soni taqqoslama o’rinli bo’lgan indekslarning eng kichigidir.Chunki indeks modul bo’yicha soni tegishli bo’lgan ko’rsatgichdir.Tegishli ko’rsatgich esa uning ta’rifiga asosan taqqoslamani qanoatlantiruvchi daraja ko’rsatgichlaridan eng kichigidir.Bundan soni kasrning davr uzunligi ekan degan xulosaga kelamiz.
Shunday qilib, taqqoslamao’rinli bo’lganda kasr bo’lganda sof davriy kasrga yoyiladi, davrdagi raqamlar soni (davr uzunligi) faqatgina kasrning maxrajiga bo’g’liq.
dagi tengliklarning har ikki qismini ga bo’lib,quyidagilarni hosil qilamiz:

Bu tengliklarga asosan,quidagi yoyilmaga ega bo’lamiz.

Lekin, Demak,

bo’lib, kasrning davri bo’ladi.Yuqoridagi tengliklar ketma-ketligi asosan ning davri ning davri umuman kasrning davri bo’lishiga ishonch hosil qilamiz.
Shunday qilib, 10soni modul bo’yicha ko’rsatgichga tegishli bo’lsa kasrlar sof davriy kasrlar bo’lib,ular bir-biridan davrdagi raqamlarning siklik almashib kelishi bilan farq qiladi.
5-misol. kasrni o’nli kasrga aylantirib, uning davr uzunligini toping.
10 soni 37 modul bo’yicha 3 ko’rsatgichga tegishli ekanini biz bilamiz.boshqacha aytganda

Demak,yuqoridagi kasrning davri 3 ta raqamdan tashkil topadi.Hozir shu raqamlarni topamiz.

Tengliklarga asosan,
Agar 10soni modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lsa, bo’ladi.U holda o’nli kasrning davrdagi raqamlar soni ga teng.Lekin boshlang’ich ildiz har qanday sonlar uchunmavjud bo’lavermasligini biz ko’rib o’tgan edik.
Aytaylik,10 soni modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lmasin. Unda 10soni tegishli bo’lgan ko’rsatgich dan kichik bo’ladi.bunday holda kabi tenglikni yoza olamiz.Demak,suratlari 1dan gacha bo’lgan sonlarni qabul qiluvchi,maxrajlari esa ga teng bo’lgan kasrlar to’plami ta kasr lar sistemasiga ajralar ekan. Bu kasrlar sistemasini biz quyidagicha yozib olamiz:

Bunda har bir yo’ldagi kasrlarning davri biri ikkinchisidan faqatgina raqamlarning siklik almashinishi bilan farq qilishini biz yuqorida ko’rib o’tgan edik.
Aytaylik, bo’lsin.U holda ikkinchi yo’l kasrlari hosil bo’lib,ularning davri ham ga teng bo’ladi. va lardan farqli biror ni olsak,uchinchi kasrlar sistemasi hosil bo’ladi. Bu jarayonni davom ettirib, biz ta kasrlar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu aytilgan fikrlarni yuqoridagi misolga qo’llab qaraylik: bo’lib, ekanidan 12ta kasrlar sistemasiga ega bo’lamiz.
Haqiqatan,5,13,19larga teng bo’lmagan biror sonni,masalan, 2 ni olaylik, u holda

Tengliklarga asosan, sistemasiga ega bo’lamiz.Qolgan kasrlar sistemalari mos ravishda quydagicha bo’ladi:


Shuni alohida eslatib o’tish lozimki,turli kasrlar sistemasining davri biri ikkinchisidan sikli almashtirish yordamida hosil bo’lmaydi.
Agar to’g’ri kasrning maxraji berilgan bo’lsa, bu kasrga bukasrga teng bo’lgan o’nli kasrning davr uzunliginiindekslar yordamida topish mumkin.Buni quyidagi misolda ko’rib o’tamiz:
6-misol.Maxraji bo’lgan qisqarmas kasrning o’nli kasrga aylantirganda hsil bo’lgan kasrning davr uzunligini toping.
Tegishli ko’rsatgichning ta’rifiga binoan,bu ko’rsatgich

taqqoslamani qanoatlantiruvchi ko’rsatgichning eng kichigidir.Bu taqqoslamani indekslar yordamida yechamiz: bo’lgani uchun
Oxirgi taqqoslamani qanoatlantiruvchi eng kichik musbat son dir. Demak,maxraji 41 ga teng bo’lgan qiaqarmas kasrlarning davr uzunligi 5ga teng.
2-hol.Qirqarmaydigan kasr maxrajining kanonik yoyilmasida 2 yoki5 qatnashsin,ya’ni bo’lmay, balki bo’lsin. Bu yerda bo’lishi ravshan. va larning eng kattasini deb belgilaylik.
Quyidagi nisbatni qaraylik:


Endi bo’lgani uchun qiaqarmas kasrni o’nli kasrga aylantirish mumkin. U holda quyidagi tenglik hosil bo’ladi:

Bundan kelib chiqadi. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi, bu yerda . Demak, ekan. Shunday qilib, bo’lganda kasrni o’nli kasrga aylantirganda aralash davriy kasr hosil bo’lib, uning uzunligi 10 soni modul bo’yicha tegishli bo’lgan ko’rsatkichga teng bo’ladi. Verguldan keyingi davrgacha raqamlar soni esa orqali aniqlanadi.</sub>

_{АDАBIYOTLАR:}

_{1. Nаzаrоv R.N., Tоshpo’lаtоv B.T, Dusumbеtоv А.D. Аlgеbrа vа sоnlаr nаzаriyasi. T.,I qism,1993 y.,II qism, 1995 y.}

_{2.Tоshpo’lаtоv B.T., Dusumbеtоv А.D., Qulmаtоv А.Q. Аlgеbrа vа sоnlаr nаzаriyasi. Mа’ruzаlаr mаtni. T., 2001 1-5- qismlаr.}