Yo'nalishi bo'yicha hosila gradient

e_men va e_k a dyadik tensor turi (2,0)). Umuman olganda, ushbu ibora Jacobian matritsasining transpozitsiyasiga teng:

Egri chiziqli koordinatalarda yoki umuman olganda egri chiziqda ko'p qirrali, gradyan o'z ichiga oladi Christoffel ramzlari:

qayerda g^jk teskari qismning tarkibiy qismlari metrik tensor va e_men koordinata asosi vektorlari hisoblanadi.
Vektorli maydonning gradienti o'zgarmasroq ifodalangan f bilan belgilanishi mumkin Levi-Civita aloqasi va metrik tensor:^[23]

qayerda ∇_v ulanishdir.
Riemann manifoldlari
Har qanday kishi uchun silliq funktsiya f Riemann manifoldida (M, g), ning gradienti f vektor maydoni ∇f har qanday vektor maydoni uchun shunday X,

anavi,

qayerda g_x( , ) belgisini bildiradi ichki mahsulot tangensli vektorlarning x metrik bilan belgilanadi g va ∂_X f har qanday nuqtani qabul qiladigan funktsiya x ∈ M ning yo'naltirilgan hosilasiga f yo'nalishda X, da baholandi x. Boshqacha qilib aytganda, a koordinata jadvali φ ning ochiq pastki qismidan M ning ochiq pastki qismiga Rⁿ, (∂_X f )(x) tomonidan berilgan:

qayerda X^j belgisini bildiradi jning tarkibiy qismi X ushbu koordinatalar jadvalida.
Shunday qilib, gradientning mahalliy shakli quyidagi shaklni oladi:

Ishni umumlashtirish M = Rⁿ, funktsiya gradienti uning tashqi hosilasi bilan bog'liq, chunki

Aniqrog'i, gradient ∇f differentsial 1-shaklga bog'langan vektor maydoni df yordamida musiqiy izomorfizm

("o'tkir" deb nomlanadi) metrik bilan belgilanadi g. Funktsiyaning tashqi hosilasi va gradienti o'rtasidagi bog'liqlik Rⁿ metrik nuqta mahsuloti tomonidan berilgan tekis metrik bo'lgan bu alohida holat.