Yo'nalishi bo'yicha hosila gradient

v har bir nuqtada x ning yo'naltirilgan hosilasi hisoblanadi f birga v. Anavi,

Rasmiy ravishda, gradyan shundaydir ikkilamchi hosilaga; qarang lotin bilan munosabatlar.
Agar funktsiya vaqt kabi parametrga bog'liq bo'lsa, gradient ko'pincha faqat uning fazoviy hosilalari vektoriga murojaat qiladi (qarang. Fazoviy gradient).
Gradient vektorining kattaligi va yo'nalishi mustaqil xususan koordinatali vakillik.^[17][18]
Dekart koordinatalari
Uch o'lchovli Dekart koordinatalar tizimi bilan Evklid metrikasi, agar mavjud bo'lsa, gradient:

qayerda men, j, k ular standart yo'nalishlari bo'yicha birlik vektorlari x, y va z mos ravishda koordinatalar. Masalan, funktsiya gradyenti

bu

Ba'zi dasturlarda gradientni a sifatida ko'rsatish odatiy holdir qator vektori yoki ustunli vektor to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi uning tarkibiy qismlari; ushbu maqola gradientning ustun vektori bo'lgan konventsiyasiga, lotin esa qatorli vektorga amal qiladi.
Silindrsimon va sferik koordinatalar
Asosiy maqola: Silindrsimon va sferik koordinatalarda Del
Yilda silindrsimon koordinatalar evklid metrikasi bilan gradient quyidagicha berilgan:^[19]

qayerda r eksenel masofa, φ azimutal yoki azimut burchagi, z eksa koordinatasi va e_r, e_φ va e_z koordinata yo'nalishlari bo'yicha ishora qiluvchi birlik vektorlari.
Yilda sferik koordinatalar, gradyan quyidagicha berilgan:^[19]

qayerda r radiusli masofa, φ bu azimutal burchak va θ qutb burchagi va e_r, e_θ va e_φ yana koordinatali yo'nalishlarga ishora qiluvchi mahalliy birlik vektorlari (ya'ni normallashtirilgan) kovariant asos).
Boshqa gradyan uchun ortogonal koordinata tizimlari, qarang Ortogonal koordinatalar (uch o'lchamdagi differentsial operatorlar).
Umumiy koordinatalar
Biz ko'rib chiqamiz umumiy koordinatalardeb yozamiz x¹, ..., x^men, ..., xⁿ, qayerda n domenning o'lchamlari soni. Bu erda yuqori ko'rsatkich koordinatalar yoki komponentlar ro'yxatidagi pozitsiyani anglatadi, shuning uchun x² miqdorni emas, balki ikkinchi komponentni nazarda tutadi x kvadrat shaklida. Indeks o'zgaruvchisi men ixtiyoriy elementga ishora qiladi x^men. Foydalanish Eynshteyn yozuvlari, keyin gradientni quyidagicha yozish mumkin:
(E'tibor bering, uning ikkilamchi bu  ),
qayerda  va  normallashmagan mahalliyga murojaat qiling kovariant va qarama-qarshi asoslar mos ravishda,  bo'ladi teskari metrik tensorva Eynshteyn konvensiyasi yakunlashni anglatadi men va j.
Agar koordinatalar ortogonal bo'lsa, biz osongina gradientni ifodalashimiz mumkin (va differentsial) biz nazarda tutadigan normallashgan asoslar bo'yicha  va  , o'lchov omillaridan foydalangan holda (shuningdek ma'lum Lamé koeffitsientlari)  :
(va  ),
bu erda biz Eynshteyn yozuvidan foydalana olmaymiz, chunki ikkitadan ortiq indeksni takrorlashdan qochib bo'lmaydi. Yuqori va pastki ko'rsatkichlardan foydalanishga qaramay,  ,  va  na qarama-qarshi va na kovariant.
Oxirgi ifoda silindrsimon va sferik koordinatalar uchun yuqorida keltirilgan ifodalarni baholaydi.
Gradient va hosila yoki differentsial

Haqida maqolalar turkumining bir qismi

Hisoblash

Asosiy teorema Leybnitsning integral qoidasi Funktsiyalar chegaralari Davomiylik O'rtacha qiymat teoremasi Roll teoremasi

Differentsial Ta'riflar Hosil (umumlashtirish) Differentsial cheksiz funktsiya jami Tushunchalar Differentsiya belgisi Ikkinchi lotin Yashirin farqlash Logaritmik farqlash Tegishli stavkalar Teylor teoremasi Qoidalar va identifikatorlar Jami Mahsulot Zanjir Quvvat Miqdor L'Hopitalning qoidasi Teskari General Leybnits Faa di Brunoning formulasi

Ajralmas Integrallar ro'yxati Integral konvertatsiya Ta'riflar Antivivativ Ajralmas (noto'g'ri) Riemann integrali Lebesgue integratsiyasi Kontur integratsiyasi Teskari funktsiyalarning integrali Integratsiya Qismlar Disklar Silindrsimon chig'anoqlar O'zgartirish (trigonometrik, Weierstrass, Eyler) Eyler formulasi Qisman fraksiyalar Buyurtmani o'zgartirish Kamaytirish formulalari Integral belgisi ostida farqlash

Seriya Geometrik (arifmetik-geometrik) Harmonik O'zgaruvchan Quvvat Binomial Teylor Konvergentsiya testlari Summand limiti (muddatli sinov) Nisbat Ildiz Ajralmas To'g'ridan-to'g'ri taqqoslash Taqqoslash chegarasi O'zgaruvchan seriyalar Koshi kondensatsiyasi Dirichlet Hobil

Vektor Gradient Tafovut Jingalak Laplasiya Direktiv lotin Shaxsiyat Teoremalar Gradient Yashil Stoks Tafovut umumlashtirilgan Stoklar

Ko'p o'zgaruvchan Rasmiylik Matritsa Tensor Tashqi Geometrik Ta'riflar Qisman lotin Ko'p integral Chiziqli integral Yuzaki integral Hajmi integral Jacobian Gessian

Ixtisoslashgan Kesirli Malliavin Stoxastik O'zgarishlar

Hisob-kitob lug'ati Hisob-kitob lug'ati Hisoblash mavzulari ro'yxati

v t e

Gradient bilan chambarchas bog'liq (jami) hosila ((jami) differentsial)  : ular ko'chirish (ikkilamchi) bir-biriga. Vektorlar kiritilgan konvensiyadan foydalanish  bilan ifodalanadi ustunli vektorlarva bu kvektorlar (chiziqli xaritalar)  ) bilan ifodalanadi qatorli vektorlar,^[a] gradient  va lotin  navbati bilan bir xil tarkibiy qismlarga ega bo'lgan ustun va qator vektori sifatida ifodalanadi, lekin bir-birining transpozitsiyasi:
;
.
Ularning ikkalasi ham bir xil tarkibiy qismlarga ega bo'lsa-da, ular qanday matematik ob'ektni ifodalashlari bilan farq qiladi: har bir nuqtada lotin kotangens vektor, a chiziqli shakl (kvektor) (vektor) kiritishda berilgan cheksiz kichik o'zgarish uchun (skalyar) chiqish qancha o'zgarishini ifodalaydi, har bir nuqtada gradient teginuvchi vektor, bu (vektor) kiritishda cheksiz kichik o'zgarishni anglatadi. Belgilarda, gradient nuqtadagi teginish fazosining elementi,  , lotin tangens kosmosdan haqiqiy sonlarga qadar bo'lgan xarita bo'lsa,  . Ning har bir nuqtasidagi tegang bo'shliqlar  "tabiiy ravishda" aniqlanishi mumkin^[d] vektor maydoni bilan  o'zi va shunga o'xshash har bir nuqtadagi kotangens bo'shliqni tabiiy ravishda ikkilangan vektor maydoni  kvektorlar; Shunday qilib, gradyanning bir nuqtadagi qiymatini asl nusxadagi vektor deb hisoblash mumkin  , shunchaki teginuvchi vektor sifatida emas.
Hisoblashda, teginuvchi vektor berilganida, vektor bo'lishi mumkin ko'paytirildi ni olishga teng bo'lgan lotin tomonidan (matritsalar sifatida) nuqta mahsuloti gradyan bilan:

Differentsial yoki (tashqi) hosila
Differentsial funktsiyaga eng yaxshi chiziqli yaqinlashish

bir nuqtada x yilda Rⁿ dan chiziqli xarita Rⁿ ga R ko'pincha tomonidan belgilanadi df_x yoki Df(x) va chaqirdi differentsial yoki (jami) lotin ning f da x. Funktsiya df, qaysi xaritalar x ga df_x, deyiladi (jami) differentsial yoki tashqi hosila ning f va a .ning misoli differentsial 1-shakl.
Yagona o'zgaruvchining funktsiyasining hosilasi ko'pligini ifodalaganidek Nishab ning teginish uchun grafik funktsiyasi,^[20] funktsiyani bir nechta o'zgaruvchilardagi yo'naltiruvchi hosilasi tangens qiyaligini aks ettiradi giperplane vektor yo'nalishi bo'yicha.
Gradient formula bo'yicha differentsial bilan bog'liq

har qanday kishi uchun v ∈ Rⁿ, qayerda  bo'ladi nuqta mahsuloti: vektorning nuqta hosilasini gradient bilan olish vektor bo'ylab yo'naltirilgan hosilani olish bilan bir xil.
Agar Rⁿ (o'lchov) maydoni sifatida qaraladi n) ustun vektorlari (haqiqiy sonlar), keyin ko'rib chiqish mumkin df komponentlar bilan qatorli vektor sifatida

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida df_x(v) tomonidan berilgan matritsani ko'paytirish. Standart Evklid metrikasini qabul qilsak Rⁿ, keyin gradient mos keladigan ustun vektoridir, ya'ni

Funksiyaga chiziqli yaqinlashish
Eng zo'r chiziqli yaqinlashish to funktsiya hosila emas, balki gradient bilan ifodalanishi mumkin. A ning gradyenti funktsiya f Evklid fazosidan