"yalqovcha" kasr qisqartirish

FMI (ilmiy-uslubiy jurnal) 2006 yil № 5(2). 62-66-bet

"YALQOVCHA" KASR QISQARTIRISH

A.A’zamov
Darslardan birida o`qituvchi qobiliyati binoyidek, ammo yalqovlik bo`yicha sinfda birinchi bo`lgan o`quvchini doskaga chiqardi-da,

kasrni qisqartirishni buyurdi. O`quvchi o`ylanib ham o`tirmay, 6 larni o`chirib mana bunday qilib "qisqartirib" tashladi:

Butun sinf gurillab kulib yubordi - bunaqa antiqa qisqartirishni hech ko`rmagan edi-da. Lekin "Matematik" laqabli o`quvchining luqmasi hammani lol qildi:

- Javobi to`g`ri!

Chindan ham

- Bu, albatta, tasodif, - izoh berdi o`qituvchi. U avval misolni boshqasiga almashtirib, darsni reja bo`yicha davom ettirmoqchi bo`ldi.

Lekin o`quvchilarning ko`zida chaqnab turgan qiziqishni sezib fikridan qaytdi. "Mayli, bitta darsda dasturdan chetga chiqsak chiqibmiz-da, tekshiradigan komissiya yeb qo`ymas", - o`yidan o`tkazdi u. So`ng sinfga murojaat qildi:

- Xo`sh, nima deysizlar, shunaqa usulda qisqartirsa bo`ladigan kasrlar yana bormi?

- Izlaylik, izlaylik, - jonlanib chug`urlashdi bolalar. Axir kasrlarni qisqartirish, ko`paytuvchilarga ajratish, ifodalarni soddalashtirish kabi mashqlarni bajaraverib, allaqachon "matematika - zerikarli fan" degan xulosaga kelib bo`lishgan, "yalqovcha" qisqartirish esa o`zining sirliligi

bilan ularning e'tiborini tortgan edi.

- Qani, bo`lmasa, nimadan boshlaymiz?

- "Matematik" chiqsin. O`zining "unvon"ini oqlasin-da, - dedi o`quvchilardan biri. Boshqalar uni quvvatladi. "Matematik" shoshilmay sinf taxtasiga yaqinlashdi - yo`l-yo`lakay masalani echish rejasini tuza boshlagan edi.

- Ikki xonali sonlarni izlashim kerakmi?

- Hozircha, - miyig`ida kulib qo`ydi o`qituvchi.

Shundan so`ng taxtada mana bunday yozuvlar paydo bo`ldi:

, .

(10a + b)c = (10b + c)a,

10ac + bc = 10ab + ac,

9ac + bc = 10ab,

(9a + b)c = 10ab. (1)

So`ng "a = b bo`lgan holni chiqarib tashlaymiz: qizig`i yo`q", -dedi. Shu joyda o`qituvchi aralashdi: - qizig`i bormi, yo`qmi, baribir tashlab ketish yaxshi emas. Bu holni uyga vazifa sifatida qoldiramiz.

Mashq. "Yalqovcha" usulda qisqartirish mumkin bo`lgan ko`rinishdagi barcha kasrlarni toping.

- Oxirgi yozgan (1) tengligimizdan ko`rinib turibdiki, - davom etdi "Matematik", - yo 9a+b ifoda yo c beshga bo`linishi kerak. Bu erda a va b turli raqamlar bo`lgani uchun birma-bir qarab chiqish qiyin emas.

- To`g`ri, - yordamga keldi o`qituvchi, - faqat hisoblash oson bo`lishi uchun 9a+b ni kichikroq ifoda bilan almashtirib olish mumkin emasmi?

- Ha, bo`lar ekan: 9a+b ifoda 5 ga bo`linsa, 4a+b ham 5 ga bo`linishi shart. a va b ga birma-bir qiymatlar beramiz-da, 4a+b ifoda beshga bo`linadigan hol uchun c ning qiymatlarini topamiz. Ular

formuladan topiladi.

- Voy-bo`, - vahima qildi kimdir. - c kasr bo`lib qolyapti-ku!

- Albatta, hisoblaganda c kasr chiqadigan hollarni tashlab yuboramiz, - tinchlantirdi o`qituvchi. Qani, "Matematik", boshla.

- Agar a=1 bo`lsa, b faqat 6 bo`lishi mumkin: 9a + b = 9 + 6 = 15.

U holda c ning qiymati

- Yaraydi.

- Yaxshi, - o`qituvchi sinfga murojaat qildi. - Vaqtni tejash uchun a ning qiymatlarini bo`lib olib hisoblaymiz. Har kim sinf jurnali ro`yxatidagi nomeri qanday raqam bilan tugasa, a ning shu qiymati uchun b va c ni hisoblasin. Nomeri 0 va 1 raqami bilan tugaydiganlar sherigiga yordam berishi mumkin. Bolalar chug`urlashib hisobga tushib ketishdi:

- Menda c kasr chiqdi.

- Menda ham.

Faqat bir o`quvchi c butun chiqqanini e'lon qildi. O`qituvchi "Matematik"ka natijalarni jadval ko`rinishda to`ldirib chiqishni taklif etdi:

a	1	2	3	4	5	6	7	8	9
b	6	7	8	9	0	1	2	3	4
C	4	Kasr	Kasr	8	Kasr	Kasr	Kasr	Kasr	Kasr
Natija	+	-	-	+	-	-	-	-	-

- Demak, 4a+b ifoda 5 ga bo`linadigan holni qaraydigan bo`lsak, ikkita kasr topilar ekan. Faqat topilgan kasrlarni chindan ham "yalqovlarcha" qisqartirish mumkinmi - tekshirib, ishonch hosil qilish lozim. Bolalar bu ishga ham katta qiziqish va biroz hayajon bilan kirishdilar:

Haqiqatan, har ikki holda ham kasrlarni "yalqovcha" qisqartirsa bo`lar ekan.

-Boshida ko`rgan misolimiz chiqmadi-ku! - Kimdir ming`illadi.

-Darvoqe, - o`qituvchi bolalarga sinovchan razm soldi.

-Hali c soni 5 ga bo`linadigan holni qaramadik, - topqirliq qildi boshqa bir o`quvchi.

- c raqamga 5 bo`linsa, o`zi 5 ekan-da, - undan qolishmadi yana biri.

- Barakalla, demak, ishimiz engillashdi. "Matematik" davom ettirdi:

tenglikka c=5 ni qo`yib qisqartirsak,

hosil bo`ladi.

- Tushunarli, yana a ga birma-bir qiymat qo`yib chiqish kerak, -taklif qildi kimdir.

- Shunday qilsa ham bo`ladi. Lekin bu erda yaqinroq yo`ldan yurish mumkin. Tengligimizni

ko`rinishda yozib olsak, ko`rinadiki, o`ng tomondagi ko`paytma a ga bo`linishi kerak. Lekin a bilan 2a - 1 o`zaro tub. Demak, b soni a ga bo`linishi shart. b=ad bo`lsin. U holda tengligimiz ancha soddalashadi:

9 = (2a - 1)d.

- Demak, atigi uchta hol bo`lishi mumkin, - ilib ketdi "Matematik":

1) 2a- 1=9, d=1, bundan, a=5, b=5 - bu holni qaramaymiz, uyga vazifa qilib qoldirilgan;

2) 2a-1=1, d=9, bundan, a=1, b=9 - yaraydi;

3) 2a-1=3, d=3, bundan, a=2, b=6 - yaraydi.

Yana ikkita kasr topildi. Tekshirib ko`ramiz:

- yangi misol,

- bu esa "o`zimizning" kasr.

- Shunday qilib, - yakun yasadi o`qituvchi, - "yalqovcha" usulda qisqartirsa bo`ladigan to`rtta kasr topdik. - So`ng u soatga qaradi. Hali darsning yarmi ham o`tmagan edi. - Kelinglar, endi biroz algebra bilan ham shug`ullanaylik. - Shunday deb O`qituvchi taxtaga yozdi:

- Ko`rib turibsizlar, uch nuqtalar e'tiborga olinmasa, bu – dastlabki kasrimiz. Uchnuqtalar o`rniga 6 raqamini qo`yamiz. Suratda ham, mahrajda ham bir xil miqdorda. Yana avvalgicha yo`l tutamiz: har kim jurnaldagi nomerining oxirgi raqami necha bo`lsa, shunchadan 6 qo`yib chiqsin. Shundan so`ng hosil bo`lgan kasrlarni qisqartirsin. O`quvchilar mashqni bajarib bo`lishiga qarab (kimdir 266/665 ni, kimdir esa to`qqiztadan 6 yozib qisqartirishiga to`g`ri kelgan-da), taxtada

shunday yozuvlar paydo bo`ldi:

- Kasrni 6 raqamlari bilan istalgancha cho`zsa bo`ladiganga o`xshaydi, - kimdir faraz qildi.

- Topgan boshqa kasrlarimiz ham shu xossaga ega emasmikin, -qo`shimcha qildi boshqa o`quvchi.

O`qituvchi:

- Kelinglar, mana shu farazni bayon qilaylik. Biz uni "jajji teorema" deb atashimiz mumkin:

Agar bo`lsa, u holda bo`ladi.

(oxirgi kasrning suratida ham, mahrajida ham n tadan b).

M a sh q. "Jajji teorema"ni isbotlang.

Adabiyot

M.B.Balk. Matematikadan sinfdan tashqi ishlarning mazmuni va tashkil etilishi. 1956.

@ustozlar_uchun Xalq ta’limi xodimlariga