Xxiii bob analitik statika

XXIII BOB
Analitik statika
Statika bo’limida qattiq jism muvozanatining zaruriy va yetarli shartlari keltirib chiqarilgan edi. Elementar statikada moddiy nuqtalardan yoki qattiq jismlardan tashkil topgan mexanik sistema muvozanat shartining yetarliligini keltirib chiqarishda sistemaga kirgan har bir qattiq jismning muvozanat shartlari qaraladi. Bunday holda hisoblashlar juda qiyinlashadi, ichki kuchlarning katta sondagi noma’lum reaksiyalari qatnashadi. Natijada mexanik sistema muvozanatini aniqlovchi shartlar yetarli bo’lmay qolishi mumkin.
Analitik statika statikaning bo’limi bo’lib, uning asosida ixtiyoriy mexanik sistema muvozanatining zaruriy va yetarli shartlarini ifodalovchi mumkin bo’lgan ko’chish prinsipi yotadi. Bu prinsip mumkin bo’lgan ko’chishlar va mumkin bo’lgan ishlarga asoslanadi.


63-§. Mexanik sistemaning mumkin bo’lgan ko’chishi.
Umumlashgan koordinatalar.
Tayanch iboralar: Bog’lanish, bog’lanish reaksiyasi, umumlashgan koordinata, haqiqiy va mumkin bo’lgan ko’chish, mumkin bo’lgan ish va h.k.
1. Haqiqiy va mumkin bo’lgan ko’chish.
Moddiy nuqtaning harakat qonuni

yoki proyeksiyalarda
,
ko’rinishda berilgan bo’lsin.
Moddiy nuqtaning biror vaqt oralig’ida harakat qonunini qanoatlantirgan holda sodir bo’ladigan ko’chishiga uning haqiqiy ko’chishi deyiladi.
Demak, moddiy nuqtaning cheksiz kichik dt vaqt oralig’idagi haqiqiy ko’chishi bo’lib, bu vektorning koordinatalari

ko’rinishida bo’ladi. Bundan ko’rinib turibdiki, moddiy nuqtaning koordinatalari t argumentning o’zgarishi bilan sodir bo’lar ekan. Matematikada bunday o’zgarish funksiya differensiali bilan ifodalanadi.
Moddiy nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi deb, bog’lanishlarni qanoatlantirgan holda sodir bo’ladigan xayoliy ko’chishiga aytiladi. Bunday ko’chishlar cheksiz ko’p bo’lishi mumkin, ya’ni bunday ko’chishlarni birgalikda mumkin bo’lgan ko’chishlar to’plami deb qarash mumkin. Demak, moddiy nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishlari biror vaqt oralig’ida emas, balki vaqtning biror paytida tasavvur qilish mumkin bo’lgan xayoliy ko’chishlar to’plamidan iborat. Mumkin bo’lgan ko’chishlar moddiy nuqtaning berilgan paytdagi holatiga va unga qo’yilgan bog’lanishlarga bog’liq bo’ladi.
Moddiy nuqtaning mumkin bo’lgan (yoki vertual) ko’chishini bilan, uning proyeksiyalarini bilan belgilaymiz.
Matematikada funksiya argumentining o’zgarishi bilan uning cheksiz kichik o’zgarishiga funksiya differensiali deyiladi. Agar funksiyaning o’zgarishi ko’rinishining o’zgarishi bilan yuz bersa, unga funksiya variasiyasi deyiladi. Demak, moddiy nuqtaning haqiqiy ko’chishi nuqta koordinatalarining differensiallariga, mumkin bo’lgan ko’chishi esa koordinatalarning variasiyalariga mos keladi.
Mexanik sistemaning mumkin bo’lgan ko’chishi deb, bu sistema nuqtalarining mumkin bo’lgan ko’chishlari to’plamiga aytiladi.
Agar moddiy nuqtaga (mexanik sistemaga) qo’yilgan bog’lanish statsionar bo’lsa, moddiy nuqtaning yoki mexanik sistemaning haqiqiy ko’chishi mumkin bo’lgan ko’chishlar to’plamiga tegishli, ya’ni haqiqiy ko’chish mumkin bo’lgan ko’chish bo’ladi. Agar bog’lanish nostasionar bo’lsa, haqiqiy ko’chish mumkin bo’lgan ko’chishlar to’plamiga tegishli bo’lmaydi.
Mexanik sistemaga qo’yilgan kuchlarni ikkiga ajratamiz: berilgan kuchlar va bog’lanish reaksiyalari.
Berilgan kuchlar mexanik sistema nuqtalarini harakatlantiruvchi kuchlar hisoblanadi.
Bog’lanish reaksiyalari mexanik sistema nuqtalarining harakatini cheklovchi kuchlardir.
n ta moddiy nuqtadan tashkil topgan mexanik sistemani qaraymiz. Bog’lanish reaksiyalarini bilan belgilaymiz. Mexanik sistemaga biror mumkin bo’lgan ko’chish beramiz va nuqtalarning mumkin bo’lgan ko’chishlarini lar bilan belgilaymiz. bog’lanish reaksiyalarining mumkin bo’lgan ko’chishlarda bajargan ishlari yig’indisini hisoblaymiz.
Mexanik sistemaning ixtiyoriy mumkin bo’lgan ko’chishida bog’lanish reaksiyalarining bijargan ishlari yig’indisi nolga teng, ya’ni
(23.63.1)
bo’lsa, bunday bog’lanishga ideal bog’lanish deyiladi.
F
araz qilaylik, qattiq jism o’zaro parallel ikkita silliq sirtlar orasida sirpansin (69a-shakl). Bu holda bog’lanish reaksiyasi sirtning jism bilan urinish nuqtasidagi tashqi normali bo’ylab yo’nalgan. Jism urinish nuqtasining mumkin bo’lgan ko’chishi sirtning urinish nuqtasidagi urinma tekisligida yotadi.
Bu holda kuchning ko’chishda bajargan ishi:
.
Demak, bu holda (23.63.1) shart bajariladi va bog’lanish ideal bog’lanish bo’ladi.
Faraz qilaylik, sirtlar silliq bo’lmasin (69b-shakl). Bu holda bog’lanish reaksiyasi ishqalanish kuchi va normal reaksiyalarning geometrik yig’indisidan iborat bo’ladi. Bu kuchlarning mumkin bo’lgan ko’chishdagi ishlari yig’insini topamiz:

Demak, bu holda (23.63.1) shart bajarilmaydi va ikki yoqli bog’lanish ideal bo’lmaydi.
Agar jism qo’zg’almas g’adur-budur sirt ustida sirpanmasdan yumalasa, sirt bilan jismning urinish to’g’ri chizig’i u oniy aylanish o’qi bo’ladi. Jism urinish nuqtalarining tezliklari va mumkin bo’lgan ko’chishlari nolga teng, ya’ni . Bu holda bog’lanish reaksiyasining mumkin bo’lgan ishlari yig’indisi ham nolga teng. Demak, bu holda ham bog’lanish ideal bo’ladi.
Shunday qilib, g’adir-budur sirt ustida sirg’anmasdan yumalovchi jism uchun bunday sirt ideal bog’lanish bo’ladi, ya’ni (23.63.1) shart bajariladi.