Xosmas integrallarning yaqinlashish alomatlari. Xosmas integralga doir mashqlar

1-MISOL:

integralni yaqinlashuvchilikka tekshiring.
Yechish: Uchta holni qaraymiz.

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   .
   

a) holni qaraymiz. bo’lsa, u holda deb olishimiz mumkin. funksiyani quyidagicha yozib olamiz.


tenglik uchun bajarilganligi uchun, shunday nuqta topiladiki, tengsizlik bajariladi, shuning uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi va integralning yaqinlashuvchiligidan 2 – teoremaga ko’ra – integralning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Demak, agar bo’lsa, u holda – integral yaqinlashuvchi bo’ladi.
b) bo’lsin. Bu holda

Bu yerdan – integralning da yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
c) bo’lsin. U holda deb olishimiz mumkin. funksiyani quyidagicha yozib olamiz.

. Bu yerdan bo’lganda bo’ladi. Shuning uchun bo’lganda . Bu yerdan 2 – teoremaga ko’ra va uzoqlashuvchi bo’lganligidan – integralning uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Demak, qaralayotgan integral da uzoqlashuvchi bo’lar ekan.
Shunday qilib, – integral
a) da yaqinlashadi.
b) da da yaqinlashadi, da uzoqlashadi.
v) da da uzoqlashuvchi bo’ladi.
1’-MISOL:

integralni yaqinlashuvchilikka tekshiring.
Yechish: – soniga nisbatan mumkin bo’lgan uchta holatni qaraymiz.
a) Birinchi hol:
Agar bo’lsa, u holda tenglikni yozishimiz mumkin. Integral ostidagi funksiyani

ko’rinishda yozishimiz mumkin.

tenglik uchun bo’lganligi uchun, shunday soni topilib, ixtiyoriy larda tengsizlik bajariladi, shuning uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi va integral yaqinlashuvchi bo’lganligi uchun taqqoslash teoremasiga ko’ra – integralning oraliqda va demak oraliqda yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Shunday qilib – integral bo’lganda ixtiyoriy larda yaqinlashuvchi bo’ladi.
b) Ikkinchi hol:
Bu holda belgilashni kiritib ( Xosmas integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish shartlari bajarilyapti ) – integralni

ko’rinishda yozib olamiz. Bu munosabatdan bo’lganda – integralning da yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
c) Uchinchi hol: .
Agar bo’lsa, shunday soni topilib tenglik o’rinli bo’ladi. Integral ostidagi funksiyani bu yerda , korinishda yozib olamiz.

bo’lganligi uchun shunday nuqta topilib bo’ladi. Bu tengsizlikdan taqqoslash teoremasiga ko’ra ( uzoqlashuvchi bo’lganligi uchun ) – integralning oraliqda va geman oraliqda uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Umumiy xulosa: – integral ( ) bo’lganda va da bo’lganda yaqinlashuvchi. Hamda va larning boshqa qiymatlarida uzoqlashuvchi bo’lar ekan.
Bu misolni 3 – taqqoslash teoremasidan foydalanib ham yechish mumkin.