Xosmas integrallar

Yaqinlashish uchun yetarli belgi. Aytaylik [a,∞) oraliqda f(x) funksiya musbat va uzluksiz bo’lsin . Agar bo’lib, ushbu

(10)

chekli limit mavjud bo’lsa, u holda (7) xosmas integral yaqinlashadi. Agar bo’lib, ushbu

(11)

chekli yoki cheksiz limit mavjud bo’lsa, u holda (7) xosmas integral uzoqlashadi.

Birinchi hol. Aytaylik bo’lganda (10) limit mavjud bo’lsin. U vaqtda limit ta’rifiga asosan uchun bo’ladiki, x>N bo’lganda tengsizlik bajariladi. Bundan kelib chiqadi, bunda . Shunday qilib (6) shart hosil bo’ladi. Bu esa integralning mavjudligini ta’minlaydi. Quyidagi

(12)

tenglikdan esa (7)-xosmas integralning yaqinlashishi kelib chiqadi.

Ikkinchi hol. bo’lganda (11) limit mavjud bo’lsin. Bizda J>0 J dan kichik bo’lgan musbat M sonni olamiz. U vaqtda tanlangan M bo’yicha shunday N sonni topish mumkinki, natijada x>N bo’lganda tengsizlik bajariladi (ma’lumki, agar va bo’lsa, u holda ma’lum bir joydan boshlab munosabat bajariladi). Shunday qilib (8) tengsizlik hosil bo’ladi. Bundan esa

integralning uzoqlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi. (12) ga asosan (7) integral uzoqlashadi.