Xosmas integral (birinchi tur xosmas integrali)

2 – MISOL:

integralni yaqinlashuvchilikka tekshiring.
Yechish: Bu yerda ham uchta holatni qaraymiz.
Xosmas integrallarning yaqinlashishi uchun Koshi kriteriyasi
1 – Teorema.

Xosmas integralning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun

Koshi shartining bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot.
funksiyaning da limitining mavjudligi (1) integralning yaqinlashuvchiligini bildiradi. Bu limitning mavjudligi Koshi kriteriyasiga ko’ra

(3) dan Riman integralining xossalariga ko’ra

Demak, (4) dan (2) ning bajarilishi. – integralning yaqinlashuvchi bo’lishining zarur va yetarli akanligi kelib chiqadi.
Absolyut va shartli yaqinlashuvchi integrallar
Bizga

xosmas integralni qaraylik. Agar

Integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda funksiya oraliqda absolyut integrallanuvchi deyiladi.
Agar (2) uzoqlashuvchi va (1) yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda – integral shartli yaqinlashuvchi deyiladi.
1 – Teorema. Agar - integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda – integral yaqinlashuvchi bo’ladi.

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot. - integral yaqinlashuvchiligidan Koshi kriteriyasiga ko’ra

munosabat bajariladi. Xosmas integralning ta’rifiga ko’ra funksiya chetki nuqtalari bo’lgan kesmada integrallanuvchi (Riman ma’nosida ) shuning uchun funksiya ham bu kesmada integrallanuvchi bo’ladi va

tengsizlik o’rinli. Bu yerdan funksiya Koshi shartini qanoatlantirishi kelib chiqadi. Demak, – integral yaqinlashuvchi bo’ladi.
(3) ni isbotlash uchun uchun o’rinli bo’lgan

tengsizlikdan foydalanamiz. va integrallarning yaqinlashuvchiligidan (4) ning o’ng va chap tomonlarining limitlari mavjud bo’ladi. (4) dan da limitga o’tib (3) tengsizlikni olamiz.