Xosmas integral (birinchi tur xosmas integrali)

Isbot. funksiyalar kesmada uzluksiz bo’lganligidan Riman integrali uchun quyidagi bo’laklab integrallash formulasi o’rinli.

formulaning o’ng tomonida turgan ifodaning shartga ko’ra dagi limiti mavjud. Demak, ning chap tomonida turgan ifodaning ham limiti mavjud bo’ladi, ya’ni xosmas integral yaqinlashuvchi bo’ladi va formula o’rinli bo’ladi.

4. 
   O’zgaruvchilarni almashtirish formulasi.
   

4 – xossa. Agar funksiya oraliqda, funksiya da qat’iy o’suvchi va uzluksiz differensiallanuchi bo’lib ,

bo’lsa, u holda quyidagi o’zgaruvchilarni almashtirish formulasi o’rinli.

Bu formula bu tengliklarning aqalli bittasi mavjud bo’lganda o’rinli.

5. 
   Tengsizliklarni integrallash.
   

5 – xossa. Agar

integrallar yaqinlashuvchi bo’lib, tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda

tengsizlik o’rinli.
Isbot. tengsizlik

tengsizlikdan da limitga o’tish orqali kelib chiqadi.
Manfiy bo’lmagan funksiyalardan olingan xosmas integrallar.
1 – Teorema. Agar bo’lsa, u holda

xosmas integralning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun

funksiyaning yuqoridan chagaralangan bo’lishi zarur va yetarli, ya’ni

munosabatning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. Osonlik bilan korish mumkinki – funksiya o’suvchi bo’ladi. Haqiqatdan ham (1) shartdan va Riman integralining xossalaridan

ya’ni ekanligini olamiz.
Agar
xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa, ya’ni

mavjud bo’lsa, u holda monoton funksiyaning limiti haqidagi teoremaga ko’ra

bo’ladi. Bu yerdan monoton funksiyaning limiti haqidagi teoremaga ko’ra


bo’ladi, ya’ni (2) shart bajariladi.
Aksincha (2) shart bajarilsa, u holda monoton funksiyaning limiti haqidagi teoremaga ko’ra (F – o’suvchi funksiya ) chekli

limiti mavjud bo’ladi, ya’ni

xosmas integral yaqinlashuvchi bo’ladi.