Vektorlar algebrasi

Elektromagnit maydon energiyasining saqlanish qonuni.Maksvell-Lorentz tenglamalaridan kelib chiqadigan birinchi muhim xulosa – elektromagnit maydon energiyaga ega ekanligidir. Elektromagnit maydon energiyasini topish uchun zaryadlar va maydondan iborat bo’lgan yopiq sistemani qaraymiz. Zaryadlarga ta’sir etuvchi kuchlarning V hajmda va vaqt birligida bajargan ishini topamiz. Zaryadlar uzluksiz taqsimlangan deb, bu ish formulasini yozamiz:

= = . (15) Bu yerda

F = (16) Birlik hajmdagi zaryadga ta’sir etuvchi Lorentz kuchi. Magnit maydon bajargan ish nolga teng bo’lganligi uchun

= = (17) Maksvell-Lorentz tenglamalaridan foydalanib, bajarilgan ish ifodasining ko’rinishini o’zgartiramiz. (9) tenglamadan tok zichligini maydon kuchlanganliklari orqali ifodalab, (17) ni quyidagi ko’rinishda yozamiz: = (18) Bu tenglamani elektr va magnit maydon bo’yicha simmetrik ko’rinishga keltiramiz. Buning uchun 9-ma’ruzadagi (1) ifodadan foydalanamiz: = - (19) Bu yerda o’xshash hadlarni guruhlarga birlashtiramiz:
= - = -


Bu ifodalarni hisobga olib, (19) tenglamani qayta yozamiz:

(20) Olingan tenglamani tahlil qilamiz. Integrallash hajmini cheksizga intiltiramiz. Bunda o’ng tomondagi ikkinchi hadda integrallash sirti cheksizda yotadi. Agar elektr va magnit maydon kuchlanganliklari cheksizda 1/r dan tezroq nolga intilsa, integral nolga teng bo’ladi. Natijada quyidagini hosil qilamiz: (21) Bu tenglamaning o’ng tomonida zaryadlar ustida vaqt birligida maydonning bajargan ishi turibdi. Ish energiyaning o’zgarishi hisobiga bajarilishini hisobga olsak, chap tomonida vaqt birligida energiyaning o’zgarishi turishi kerak. (21) ning chap tomoni faqat maydon kuchlanganliklariga bog’liq bo’lganligi uchun zaryadlarning o’zaro joylashishiga bog’liq emas. Shuning uchun u zaryadlarning o’zaro ta’sir potensial energiyasi bo’la olmaydi. Fazoning zaryadlangan holi bo’lgan sohasida ham noldan farqlidir. Bu fikrlardan U = (22) elektromagnit maydon energiyasi, U₀ = (23) esa uning zichligi ekanligi kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan ma’lumki, zaryadlar ustida bajarilgan ish ular kinetic energiyasining o’garishiga teng. Bitta zaryad uchun yozilgan tenglamani zaryadlar sistemasi uchun yozamiz: = evE = . (24)Bu natijani (21) tenglamaga qo’yib, quyidagi ajoyib natijani olamiz:

= 0 (25) yoki = const. (26) Shunday qilib, maydon va zaryadlardan tashkil topgan yopiq sistemaning to’liq energiyasi saqlanar ekan. Yana (20) tenglamaga qaytamiz. Ko’rilayotgan sohada bajarilayotgan ish nolga teng bo’lsin, deb faraz qilamiz. Bu holda (20) tenglama quyidagi ko’rinishga keladi: = - (27) Bu tenglamaning o’ng tomoniga Ostrogradskiy-Gauss teoremasini qo’llaymiz va integrallash hajmi ixtiyoriy ekanligini hisobga olib

+ (28) tenglamani hosil qilamiz. Belgilash kiritamiz:

Elektrostatik maydon.Kulon qonuni.. Harakatsiz zaryadlar hosil qilayotgan maydonga elektroststik maydon deyiladi. Zaryadlar harakatsiz bo’lganligi uchun qaralayotgan sistemada tok nolga teng va maydon kuchlanganliklarining vaqt bo’yicha o’garishlari ham nolga teng bo’ladi. Bu holda Maksvell-Lorentz tenglamalari quyidagi ko’rinishni oladi:

rot E = 0, (1)

div H = 0, (2)

rot H = 0, (3)

div E = 4 (4)

Ikkinchi va uchinchi tenglamalardan