Учебное пособие "Методика преподавания математики"

2.Величина и ее измерение.  Величина - одно из основных понятий математики, возникшее в древности и подвергшееся в процессе развития математики ряду обобщений.
Общее понятие величины - непосредственное обобщение конкретных величин (длины, площади, объема, массы и т. д.), свойства которых сформулированы еще в "Началах" Евклида.
Впоследствии эта величина получила название положительной скалярной величины, чтобы отличить ее от более общих понятий величины (векторной и др.). И говоря далее о величинах, будем иметь в виду скалярную, аддитивную, непрерывную положительную величину.
Интуитивно мы представляем себе, что величина может быть больше или меньше, две однородные величины могут складываться, величину можно делить на любое натуральное число, ее можно измерить, причем под измерением обычно понимают сравнение данной величины с другой того же рода, принятой за единицу измерения. Однако сформулировать в математических терминах ответ на вопрос, что такое величина, - совсем не просто. Школьное обучение этого не дает. Мы в школе имеем дело с конкретными величинами, изучение которых хорошо иллюстрирует общее понятие величины при соответственной постановке обучения.
Для правильной постановки обучения конкретным геометрическим величинам учитель должен иметь представление об одном из возможных построений теории величины.
Приведем схему построения такой теории, полученную путем математизации эмпирически устанавливаемых свойств конкретных величин (А. Н. Колмогоров).
Рассмотрим бесконечное множество В с введенным в нем отношением < (меньше) и операцией + (сложение), т. е. (В,<,+), которое назовем системой однородных величин (или системой величин, или родом величин). Элементы a, b, c, : или а₁, а₂, : множества В назовем однородными величинами или величинами одного рода.
Система величин (В,<,+) характеризуется следующими свойствами, которые могут быть приняты за исходные предложения (аксиомы) теории величин:
1)  a, b (a,b или a=b или b< a) (причем имеет место только одно из трех соотношений).
2)  a, b, с (a< b и b< c a< c) (транзитивность отношения "меньше", а также "больше", которое может быть определено через "меньше", a>bb< a).
3) a, b ! c (a+b=c) (замкнутость В относительно сложения).
4) a, b (a+b=b+a) (коммутативность сложения).
5)  a, b, с (a+(b+c)=(a+b)+c) (ассоциативность сложения).
6)  a, b (a+b>a) (монотонность сложения).
7)  a, b a>b c (b+c=a)) (возможность вычитания a-b=c).
8)  a,  nN b (nb=a) (возможность деления величины на натуральное число: a:n=b).
9) a, b nN (a< nb) (аксиома Архимеда).
10) пусть даны две последовательности величин из В: а₁<а₂<...<...; ...<...< b ₂< b₁, причем для любой величины с при достаточно большом номере n b_n-a_n< c, т. е. члены последовательностей (а_n) и (b_n) неограниченно приближаются друг к другу. В таком случае существует единственная величина хВ, которая больше всех а_n и меньше всех b_n, т. е. c nN (b_n-a_n< c)! xB nN (a_n< x< b_n) (аксиома непрерывности).
Свойства 1 - 10 полностью определяют понятие системы положительных скалярных величин.
Если какую-нибудь величину еB принять за единицу измерения, то всякая величина системы В однозначно представлена в виде а=е, где   положительное действительное число (R⁺)  мера величины а при единице измерения е . Меру а при единице измерения е обозначим через m(a), т. е. если а=е, то =m(a).