Toshkent davlat pedagogika universiteti ilmiy axborotlari ilmiy-nazariy jurnali

b
a
dx
x
f
A
)
(
(1) 
formula bilan hisoblanadi
1
. Ammo bu bilan aniq integralni mexanika masalalarini yechishga tatbig‘i 
chegaralanib qolmaydi. Bunga misol sifatida bu yo‘nalishda quyidagi masalani ko‘rib o‘tamiz. 
1- Misol. 
kuch purjinani 
cho`zadi. Purjinaning dastlabki uzunligi 
. purjinani 
gacha cho`zish uchun qancha ish bajarish kerak. 
Echilishi. Guk qonuniga asosan purjina uchun 
ya`ni purjinaning siqilishi unga ta`sir etayotgan 
kuchga to`g`ri proporsional. Shu formula bo`yicha 
, bundan 
ning topilgan qiymatini yuqoridagi formulaga qoyib, 
ni hosil qilamiz ya`ni 
. Integrallash chegaralarini 0 da 0,05 gacha olib yuyqoridagi 
(1) formulani qo`llaymiz, chunki 0,2-0,15=0,05 m. 
Ma’lumki, biror v o‘zgarmas tezlik bilan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab tekis harakat qilayotgan moddiy 
nuqtaning [a,b] vaqt oralig‘ida bosib o‘tgan s masofasi s=v(b-a) formula bilan hisoblanadi. Endi tezligi har 
bir t vaqtda o‘zgaruvchan va v=v(t) funksiya bilan aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning [a,b] 
vaqt oralig‘ida bosib o‘tadigan s masofani hisoblash masalasini ko‘ramiz. Buning uchun [a,b] vaqt oraligini
a=t
0
, t
1
, t
2
, ….. , t
n-1
, t
n
=b nuqtalar bilan ixtiyoriy n bo‘lakka ajratamiz. Har bir (t
i-1
, t
i
) vaqt oraliqchalari 
uzunliklarini 

t
i
 kabi belgilaymiz va undan ixtiyoriy bir 
i
t
~
nuqtani tanlaymiz. Moddiy nuqtaning (t
i-1
, t
i
) vaqt
oraliqchalarida bosib o‘tgan masofasini s
i
kabi belgilab, bu vaqtda uning v
i 
tezligi taqriban o‘zgarmas va 
v
i
=v(
i
t
~
)deb olamiz. Bu holda s
i
 

 v
i 

t
i
=v(
i
t
~
)

t
i 
bo‘lib, bosib o‘tilgan s masofa uchun 











n
i
n
i
i
i
i
i
n
i
i
t
t
v
t
v
s
s
1
1
1
)
~
(
 
taqribiy tenglikni hosil qilamiz. Bu masofaning aniq qiymatini topish maqsadida bo‘lakchalar soni n ni  
cheksiz oshirib boramiz. Bunda 
n
i
i
n
x





1
max
cheksiz kamayib boradi deb hisoblaymiz. Natijada, aniq 
integral ta’rifiga asosan,










b
a
n
i
i
i
n
dt
t
v
t
t
v
s
n
)
(
)
~
(
lim
1
0
,
(2) 
formulaga ega bo‘lamiz
2
. 
2- Misol. Tezligi v(t)=t
2
+3t qonun bo‘yicha o‘zgaradigan notekis harakatda [3,8] vaqt oralig‘ida 
bosib o‘tilgan s masofani (2) formulaga asosan topamiz: 
.
595
45
640
)
3
2
3
(
)
8
2
8
(
)
2
(
)
4
3
(
2
3
2
3
8
3
8
3
2
3
2














t
t
dt
t
t
s
 
3- Misol. Engil avtomashinasining harakat tezligi 
m/sek tenglama bilan berilgan. Engil 
avtomashinasining to`rtinchi sekundda bosib o`tgan yo`lni toping. 
1
“Oliy matematika” (Iqtisodchi va muhandis-texnologlar uchun). Rasulov , I.I. Safarov I.I., R.T. Muxitdinov . TOSHKENT, 2012- 554 bet. 
2
“Oliy matematika” (Iqtisodchi va muhandis-texnologlar uchun). Rasulov , I.I. Safarov I.I., R.T. Muxitdinov . TOSHKENT, 2012- 554 bet. 

---

107 
TDPU ILMIY AXBOROTLARI PEDAGOGIKA 2019/3(20)
Yechilishi. Masala shartida ushbular berilgan: 
. 
formulaga ko`ra, 
=
Bundan tashqari aniq integral bir jinsli bo‘lmagan sim massasini, yassi chiziq va geometrik 
shaklning og‘irlik markazi, inersiya momentlarini hisoblash uchun ham qo‘llaniladi. 
Texnika oily o’quv yurtlarida iqtisodiyot ta’limi yo’nalishi talabalariga aniq integral 
tushunchasi kiritilayotganda, o‘zgaruvchan mehnat unumdorligi bo‘yicha mahsulot hajmini aniqlash 
masalasini o’rganib chiqiladi.
4- Misol. Korxonada mehnat unumdorligi har bir ish kuni davomida 
96
,
20
089
,
0
0033
,
0
)
(
2





t
t
t
f
z
funksiya bilan berilgan bo‘lsin. Bunda 0≤t≤8 bo‘lib, t vaqtni soatda ifodalaydi. Bu korxonaning yil (258 
ish kuni) davomida ishlab chiqargan mahsulot hajmini topamiz: 











8
0
2
3
8
0
2
)
96
,
20
0445
,
0
0011
,
0
(
258
)
96
,
20
089
,
0
0033
,
0
(
258
t
t
t
dt
t
t
Q
3504
,
42381
2688
,
164
258
)
68
,
167
848
,
2
5632
,
0
(
258








. 
Demak, bu korxona bir yilda 42381 dona mahsulot ishlab chiqaradi.  
Texnika oily o’quv yurtlarida muxandislik yo`nalishi talabalariga maxsus fanlar bilan integratsiyasi 
asosida yana bir nechta misollarni ko’rib chiqamiz. 
6- Misol. 
tezlikda bosib o`tilgan yo`lni aniqlang. Bu erda [0,5] vaqt oralig`ida. 
7- Misol. Agar 
bo‘lsa, purjinani 2 sm gacha ko‘tarish uchun qanday ishlarni bajarish 
kerakligini aniqlang. 
8- Misol. 
chiziqlar bilan chegaralangan shaklni yuzini hisoblang. Shaklni chizing. 
Bu misollarning yechimi juda oz vaqt talab etadi, osonlikcha tekshiriladi va talabalarning bilimlaridagi 
bo‘shliqlarni aniqlash imkonini beradi. Bundan tashqari, mavzu davomida o‘tkaziladigan bunday savollar 
talabalarning yanada faol idrok etishiga yaxshi rag‘bat hisoblanadi. 
Demak Aniq integral mavzusi yuzasidan talabalarda quyidagi hislatlar shakllanadi: 
- aniq integrallarni hisoblash zarurligini tushunadi; 
- muhandisning kasbiy faoliyatida aniq integrallarni qo‘llashning turli jihatlarini o‘rganadi; 
- aniq integrallar yordamida muammolarni hal etish bo‘yicha nazariy jihatlarni ajratadi; 
- aniq integrallarni yechish uchun usullarni tanlaydi; 
- amaliy masalalar bo‘yicha o‘qituvchi bilan birgalikdagi yechim jarayonida fikrlar almashinish 
jarayonini asoslaydi. 
Texnika oliy ta’lim muassasalarida matematika fani asosan birinchi va ikkinchi talabalarining dars 
mashlhg’ulotlarida olib boriladi. Bu bosqichda talabalar muhandislik kasbini to’liq holda o’zlashtirishi uchun 
aniq fanlarning ahamiyatini bilmaydi. Matematika dars mashg’ulotlarida har bir mavzuning texnikaviy 
tatbiqlarini va muhandislik fanlariga bog’liqlik asosida olib borilishi talabalarning kasbiy dunyoqarashi, 
kasbiy fikrlashlari, kasbi uchun muhim fanlarni o’zlashtirishi va kasbiy kompetentligini takomillashuviga olib 
keladi.