Integral tenglamalarni yechish usullari

2. Yadroni “ko`paytma” yadro bilan almashtirish yordamida integral tenglamalarni yechish

Integral tenglamalarni yechishning boshqa klassik usullari (2), (4) masalalardagi – integral operator yadrosini “ko`paytma” yadro bilan almashtirishdir.

“Ko`paytma” yadro ushbu ko`rinishda ifodalanadi

.

Endi

(12)

bo`lsin deylik.

Aniqlik maqsadida va lar chiziqli erksiz bo`lsin deb faraz qilaylik. Aks holda yadroni eng kichik qiymatli bilan (12) ko`rinishda yozish mumkin.

(12) holda kutishga asos bor, chunki (2) tenglamani echish

(13)

integral tenglamani yechishga yaqin.

ifodani (13) ga qo`yib quyidagi tenglikni olamiz

. (14)

Demak

, (15)

bunda

.

Shunday qilib (2) tenglamani yechish koeffitsientlarni aniqlashga olib kelinadi.

uchun (15) ifodani (14) ga qo`yib, quyidagi munosabatni olamiz

.

Bu tenglikni olishda ikki holatda indeks bilan belgilangan. Oxirgi tenglamani quyidagicha yozish mumkin

,

bunda

.

larning chiziqli erksizligidan kelib chiqadi. ga nisbatan tenglamalar sistemaisni olamiz

,

bu erda - skalyar ko`paytma. ni aniqlagandan so`ng quyidagi ko`rinishdagi masala yechimiga yaqinlashishni olamiz

.
3. Ketma-ket yaqinlashishlar usuli

Fredgolm tenglamasini qaraymiz

. (16)

(16) tenglamani echishda chiziqlimas tenglama uchun oddiy iteratsiya usuliga o`xshash iteratsion jarayonni quramiz. - izlanayotgan funksiyaning boshlang`ich yaqinlashishi bo`lsin. U holda ni (16) ning o`ng tomoniga qo`yib

munosabatni olamiz.

Xuddi shunday topilgan qiymatni integral ostidagi ifodaga qo`yib topiladi va xokazo jarayon davom ettiriladi. Ixtiyoriy - inchi yaqinlashish uchun quyidagicha yozish mumkin

,

ning etarlicha kichik qiymatida va chekli yadroda bu iteratsion jarayon bo`yicha tekis yaqinlashadi va bu yaqinlashish chiziqli bo`ladi. Yaqinlashishning yetarlilik sharti quyidagicha

, (17)

.

Ketma-ket yaqinlashishlar usulining yana bir variantida darajali qatorlardan foydalanishadi. Bunda izlanayotgan funksiya daraja bo`yicha qator ko`rinishida yoyiladi

. (18)

Bu yoyilmani (16) tenglamaga qo`yib, bir xil darajalardagi ifodalar tenglashtirilib, quyidagi rekurrent munosabatlarni olamiz

Agar (17) shart bajarilsa, chegaralangan va larda (18) qator yaqinlashadi.